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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
ich habe eine recht einfache Frage, bei der ich mir trotzdem unsicher bin. Wenn ich z.B. [mm] \integral_{-1}^{1}{\frac{1}{x} dx} [/mm] bereche, ist mir klar, dass [mm] \frac{1}{x} [/mm] bei [mm] x\to0 [/mm] gegen [mm] +-\infty [/mm] läuft, je nach dem, ob ich von unten oder von oben gegen 0 gehe. Jetzt ist doch aber aufgrund von Punktsymmetrie [mm] \integral_{0}^{1}{\frac{1}{x} dx}=-\integral_{-1}^{0}{\frac{1}{x} dx}. [/mm] Ist deshalb [mm] \integral_{-1}^{1}{\frac{1}{x} dx}=0?
[/mm]
MfG Herbart
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe eine recht einfache Frage, bei der ich mir
> trotzdem unsicher bin. Wenn ich z.B.
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\frac{1}{x} dx}[/mm] bereche, ist mir klar,
> dass [mm]\frac{1}{x}[/mm] bei [mm]x\to0[/mm] gegen [mm]+-\infty[/mm] läuft, je nach
> dem, ob ich von unten oder von oben gegen 0 gehe. Jetzt ist
> doch aber aufgrund von Punktsymmetrie
> [mm]\integral_{0}^{1}{\frac{1}{x} dx}=-\integral_{-1}^{0}{\frac{1}{x} dx}.[/mm]
Nein, das stimmt so nicht.
[mm] \integral_{0}^{1}{\frac{1}{x} dx}=\infty
[/mm]
Das ganz Ding existiert gar nicht. Von daher kann man es auch nicht gleichsetzen.
> Ist deshalb [mm]\integral_{-1}^{1}{\frac{1}{x} dx}=0?[/mm]
>
> MfG Herbart
Was ist (eine) Stammfunktion von $f(x)=1/x$? Eine wäre z.B. $F(x)=ln|x|$
Den Betrag also nicht vergessen. Wenn du nun das Integral mal aufspaltest in
[mm] \int_{-1}^{0}1/xdx+\int_0^11/xdx
[/mm]
so erkennst du auch, dass das alles nicht funktionieren kann.
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> Hallo,
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> ich habe eine recht einfache Frage, bei der ich
> mir trotzdem unsicher bin. Wenn ich z.B.
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\frac{1}{x}\ dx}[/mm] bereche, ist mir klar,
> dass [mm]\frac{1}{x}[/mm] bei [mm]x\to0[/mm] gegen [mm]+-\infty[/mm] läuft, je nach
> dem, ob ich von unten oder von oben gegen 0 gehe.
> Jetzt ist doch aber aufgrund von Punktsymmetrie
> [mm]\integral_{0}^{1}{\frac{1}{x}\ dx}\ =\ -\integral_{-1}^{0}{\frac{1}{x}\ dx}.[/mm]
> Ist deshalb [mm]\integral_{-1}^{1}{\frac{1}{x} dx}=0\ ?[/mm]
>
> MfG Herbart
Hallo Herbart,
im Sinne eines Riemannschen Integrals existiert
[mm] $\integral_{-1}^{1}\frac{1}{x}\ [/mm] dx$ nicht, wie Richie schon klar gemacht hat.
Allerdings ist es für gewisse besondere Zwecke trotzdem
sinnvoll, diesem Ausdruck den Wert 0 zuzuordnen, wie
du dir das vorstellst. Man muss sich dann allerdings
bewusst sein, dass es sich dabei um eine Integral-
definition handelt, die nur unter ganz bestimmten
Vorbehalten Sinn macht. Schau dazu da nach:
![[]](/images/popup.gif) Cauchyscher Hauptwert eines divergenten Integrals
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Herbart |
Vielen Dank für eure Antworten. Ich habe mir ein anderes Integral ausgedacht, das auch Punktsymmetrie aufweist. Was wäre denn mit
[mm] \integral_{-1}^{1}{\frac{x}{x^2+\epsilon} dx} [/mm] mit [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig, aber fest. Hier könnte ich doch argumentieren, dass
[mm] -\integral_{-1}^{0}{\frac{x}{x^2+\epsilon} dx}=\integral_{0}^{1}{\frac{x}{x^2+\epsilon} dx},
[/mm]
weil beide integrale zwar gegen [mm] \infty [/mm] konvergieren bei [mm] \epsilon [/mm] von oben [mm] \to0, [/mm] also nicht existieren würden, aber für beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] im allgemeinen [mm] <\infty [/mm] sind!
=> [mm] \integral_{-1}^{1}{\frac{x}{x^2+\epsilon} dx}=0
[/mm]
Oder liege ich wieder falsch?
MfG Herbart
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> Vielen Dank für eure Antworten. Ich habe mir ein anderes
> Integral ausgedacht, das auch Punktsymmetrie aufweist. Was
> wäre denn mit
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\frac{x}{x^2+\epsilon} dx}[/mm] mit
> [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig, aber fest. Hier könnte ich doch
> argumentieren, dass
> [mm]-\integral_{-1}^{0}{\frac{x}{x^2+\epsilon} dx}=\integral_{0}^{1}{\frac{x}{x^2+\epsilon} dx},[/mm]
>
> weil beide integrale zwar gegen [mm]\infty[/mm] konvergieren bei
> [mm]\epsilon[/mm] von oben [mm]\to0,[/mm] also nicht existieren würden, aber
> für beliebiges [mm]\epsilon>0[/mm] im allgemeinen [mm]<\infty[/mm] sind!
> => [mm]\integral_{-1}^{1}{\frac{x}{x^2+\epsilon} dx}=0[/mm]
> Oder
> liege ich wieder falsch?
>
> MfG Herbart
Hallo,
für dieses Integral brauchst du dann nicht einmal den
"Trick" mit dem Cauchy-Hauptwert, denn dein Integrand
ist ja auf dem ganzen Integrationsintervall stetig, und
er stellt eine ungerade Funktion dar. In diesem Fall
gilt sogar für jedes a mit [mm] a\ge0 [/mm] :
[mm] $\integral_{-a}^{a}f(x)\ [/mm] dx\ =\ 0$ (falls [mm] \epsilon>0)
[/mm]
Einen nachfolgenden Grenzübergang mit [mm] \epsilon\to0
[/mm]
müsste man sich dann aber trotzdem detailliert überlegen
und klar angeben, was wirklich gemeint sein soll. Jeden-
falls lässt sich auf diesem Weg nicht zeigen, dass
[mm] $\integral_{-a}^{a}\frac{1}{x}\ [/mm] dx\ =\ 0$
(im Riemannschen Sinne)
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Herbart |
> Jeden-
> falls lässt sich auf diesem Weg nicht zeigen, dass
>
> [mm]\integral_{-a}^{a}\frac{1}{x}\ dx\ =\ 0[/mm]
>
> (im Riemannschen Sinne)
>
> LG , Al-Chw.
>
Das hatte ich auch nicht unbedingt vor. Es ging mir eher darum zu überlegen, welche Grenzfälle es geben könnte, da wir die Funktion ja für hinreichend kleine [mm] \epsilon [/mm] bel. groß [mm] (<\infty) [/mm] machen können.
Vielen Dank für deine Antwort.
MfG Herbart
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