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| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion f durch
f(x)= 4x * (1+x²)^(-1/2); x Element R.
Ihr Schaubild sei K.
Gegeben ist die Umkehrfunktion von f:
g(x)=x * (16-x²)^(-1/2); x Element R.
Ihr Schaubild sei G.
K und G umschließen im 1. Feld ein Flächenstück.
Berechnen Sie seinen Inhalt! |
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Liebe Helfer,
Mir ist klar, dass ich als erstes die Schnittpunkte ausrechnen muss. Dabei ergeben sich für den ersten Quadranten die
x-Werte: x1=0 und x2=15^(1/2)
Dies bedeutet ich benötige die Stammfunktion und bilde das Integral von 0 bis Wurzel aus 15. Da ich an der Integration gescheitert bin, bei der ich gleich die Differenz der Funktionen bilden wollte, also Integral aus K-G von 0 bis Wurzel 15, versuche ich - und bitte auch nur folgende Aufgabe lösen - aus den beiden Funktionen einzeln die Stammfunktionen herauszubekommen und anschließend die Flächeninhalte zu subtrahieren. Da ich einen modernen Taschenrechner habe, gibt er mir die Ergebnisse an, sodass ich sagen kann:
F(x)= 4 * (1+x²)^(1/2) ---> Der Flächeninhalt darunter beträgt 12.
G(x)= -1 * (16-x²)^(1/2) ---> Der Flächeninhalt darunter ist 3.
Somit erhalte ich ich einen Flächeninhalt von 9 FE.
Meine Frage: Wie bekomme ich die Stammfunktionen hergeleitet? Ich bin an der partiellen Integration hängen geblieben... bitte helft mir!!! DER WEG IST DAS ZIEL!!! ICH WILL ES VERSTEHEN!!!
Eric
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eric,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Beide Stammfunktionen bzw. Integrale lassen sich mit dem Verfahren der Substitution lösen.
Substituiere jeweils das gesamte Argument unter der Wurzel:
[mm] $\integral{x*\left(1-x^2\right)^{-\bruch{1}{2}} \ dx}$
[/mm]
$z \ := \ [mm] 1-x^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ -2x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{-2x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\integral{x*\left(1-x^2\right)^{-\bruch{1}{2}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{x*z^{-\bruch{1}{2}} \ \bruch{dz}{-2x}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*\integral{z^{-\bruch{1}{2}} \ dz}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter? Das andere Integral funktioniert genauso ...
Gruß
Loddar
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ich bin so auf das andere Integral auch gekommen... Substitution war vor einem halben Jahr mal für eine Woche dran...irgendwie nicht hängen geblieben..
DANKE DANKE DANKE
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