Integration und Extrema mit NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | A1.) Sei $K := [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3 | x^2+y^2 \leq \sinh^2(z), 0 \leq z \leq 1\}$
[/mm]
Berechnen Sie das Volumen von $K$.
Hinweis: Die Stammfunktion von [mm] $\sinh^2(z)$ [/mm] ist [mm] $\frac{1}{4}\sinh(2z)-\frac{1}{2}z$
[/mm]
A2.) Sei $f: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR, [/mm] f(x,y) := [mm] x^2+2y$ [/mm] und $E = [mm] \{(x,y) \in \IR^2 | x^2+\frac{y^2}{9} = 1\}$
[/mm]
Bestimmen Sie die globalen Minima und Maxima von [mm] $f\Big|_{E}$. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hätte einige Fragen zu obigen Aufgaben.
Zu A1) Es müsste sich hierbei um einen "abgerundeten" Kegel mit Spitze im Ursprung handeln, da [mm] $\sinh(0) [/mm] = 0$.
Ich muss berechnen [mm] $\int_K [/mm] 1 [mm] \, [/mm] d(x,y,z)$ hierfür brauche ich ja eine Transformation mit einem passenden Diffeomorphismus zur Parametrisierung. Leider komme ich nicht ganz darauf, es müsste ja etwas nach folgender Bauart sein: [mm] $\psi: [/mm] () [mm] \times [/mm] (0, [mm] 2\pi) \times [/mm] (0, 1): [mm] \psi(r,\varphi,z) [/mm] := [mm] (\sinh(z)r\cos(\varphi), \sinh(z)r\sin(\varphi),z)$ [/mm] - ich kann mir aber die Bedeutung des r nicht vorstellen.
Der restliche Ablauf, sprich die Jakobi-Determinante und der Rest der Integration sind mir klar, aber bei den Parametrisierungen tue ich mich noch etwas schwer.
Zu A2) Man sieht, dass f stetig ist, des Weiteren definiere ich mir eine Hilfsfunktion $g$ mit $E = [mm] g^{-1}(0)$ [/mm] und weiß so, dass $E$ abgeschlossen ist. Des Weiteren ist $E$ offensichtlich beschränkt (geht z.B. über euklidische Norm) und somit nach Heine-Borel kompakt. Die Funktion $f$ nimmt also auf $E$ nach Vorlesung ein globales Min/Max ein.
Jetzt kann ich ja die Lagrange-Multiplikatorregel verwenden und erhalte die Gleichungen
$2x = [mm] \lambda \cdot [/mm] 2x$, $2 = [mm] \lambda \cdot \frac{2y}{9}$, $x^2 [/mm] + [mm] \frac{y^2}{9} [/mm] = 1$.
Aus der ersten Gleichung folgt [mm] $\lambda [/mm] = 1$, falls $x [mm] \not= [/mm] 0$ und somit mit zweiter Gleichung $y = 9$. Die dritte Gleichung liefert somit $x = [mm] \pm 2\sqrt{2}$.
[/mm]
Wäre [mm] $\lambda [/mm] = 0$, so wäre $x = 0$, jedoch Widerspruch in der zweiten Gleichung.
Wäre $x = 0$, aber [mm] $\lambda \not= [/mm] 0$, so wäre $y = [mm] \pm [/mm] 3$ und [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \frac{4}{3} \vee \lambda [/mm] = [mm] \frac{8}{3} [/mm] $
Meine Kandidaten wären also [mm] $(0,\pm [/mm] 3), [mm] (\pm 2\sqrt{2}, [/mm] 9)$. Habe ich einige vergessen oder mich verrechnet?
Jetzt muss ich ja nur noch die Funktionswerte bestimmen und daraus Minima und Maxima ermitteln oder fehlt noch ein Nachweis?
Freue mich auf eure Ratschläge.
Grüße
Joe
|
|
| |
|
Hallo JoeSunnex,
> A1.) Sei [mm]K := \{(x,y,z) \in \IR^3 | x^2+y^2 \leq \sinh^2(z), 0 \leq z \leq 1\}[/mm]
>
> Berechnen Sie das Volumen von [mm]K[/mm].
>
> Hinweis: Die Stammfunktion von [mm]\sinh^2(z)[/mm] ist
> [mm]\frac{1}{4}\sinh(2z)-\frac{1}{2}z[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich hätte einige Fragen zu obigen Aufgaben.
>
> Zu A1) Es müsste sich hierbei um einen "abgerundeten"
> Kegel mit Spitze im Ursprung handeln, da [mm]\sinh(0) = 0[/mm].
> Ich
> muss berechnen [mm]\int_K 1 \, d(x,y,z)[/mm] hierfür brauche ich ja
> eine Transformation mit einem passenden Diffeomorphismus
> zur Parametrisierung. Leider komme ich nicht ganz darauf,
> es müsste ja etwas nach folgender Bauart sein: [mm]\psi: () \times (0, 2\pi) \times (0, 1): \psi(r,\varphi,z) := (\sinh(z)r\cos(\varphi), \sinh(z)r\sin(\varphi),z)[/mm]
> - ich kann mir aber die Bedeutung des r nicht vorstellen.
Der Parameter r, der von 0 bis 1 läuft, garantiert,
dass der Kreis mit Radius [mm]\sinh\left(z\right)[/mm] ganz ausgefüllt wird.
Demnach ist das das Innere und der Rand des Kreises.
> Der restliche Ablauf, sprich die Jakobi-Determinante und
> der Rest der Integration sind mir klar, aber bei den
> Parametrisierungen tue ich mich noch etwas schwer.
>
>
> Freue mich auf eure Ratschläge.
>
> Grüße
> Joe
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Mi 23.07.2014 | | Autor: | JoeSunnex |
Hallo MathePower,
ja klar das macht Sinn, also eine Art "Skalierungsfaktor", welcher alle Punkte erwischt. Ich habe irgendwie immer über den Mantel nachgedacht und da sind ja nur die Randpunkte relevant, aber das ist einleuchtend.
Grüße
Joe
|
|
|
| |
|
Hallo JoeSunnex,
> A2.) Sei [mm]f: \IR^2 \rightarrow \IR, f(x,y) := x^2+2y[/mm] und [mm]E = \{(x,y) \in \IR^2 | x^2+\frac{y^2}{9} = 1\}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die globalen Minima und Maxima von
> [mm]f\Big|_{E}[/mm].
> Hallo zusammen,
>
> ich hätte einige Fragen zu obigen Aufgaben.
> Zu A2) Man sieht, dass f stetig ist, des Weiteren definiere
> ich mir eine Hilfsfunktion [mm]g[/mm] mit [mm]E = g^{-1}(0)[/mm] und weiß
> so, dass [mm]E[/mm] abgeschlossen ist. Des Weiteren ist [mm]E[/mm]
> offensichtlich beschränkt (geht z.B. über euklidische
> Norm) und somit nach Heine-Borel kompakt. Die Funktion [mm]f[/mm]
> nimmt also auf [mm]E[/mm] nach Vorlesung ein globales Min/Max ein.
>
> Jetzt kann ich ja die Lagrange-Multiplikatorregel verwenden
> und erhalte die Gleichungen
> [mm]2x = \lambda \cdot 2x[/mm], [mm]2 = \lambda \cdot \frac{2y}{9}[/mm], [mm]x^2 + \frac{y^2}{9} = 1[/mm].
>
> Aus der ersten Gleichung folgt [mm]\lambda = 1[/mm], falls [mm]x \not= 0[/mm]
> und somit mit zweiter Gleichung [mm]y = 9[/mm]. Die dritte Gleichung
> liefert somit [mm]x = \pm 2\sqrt{2}[/mm].
Da hast Du Dich verrechnet:
[mm]x^{2}+\bruch{9^{2}}{9}=x^{2}+9=1 \gdw x^{2}+8=0[/mm]
Somit gibt es kein [mm]x \in \IR[/mm], das die Gleichung
[mm]x^{2}+8=0[/mm]
erfüllt, somit gibt es auch kein Extremum.
> Wäre [mm]\lambda = 0[/mm], so
> wäre [mm]x = 0[/mm], jedoch Widerspruch in der zweiten Gleichung.
> Wäre [mm]x = 0[/mm], aber [mm]\lambda \not= 0[/mm], so wäre [mm]y = \pm 3[/mm] und
> [mm]\lambda = \frac{4}{3} \vee \lambda = \frac{8}{3}[/mm]
>
> Meine Kandidaten wären also [mm](0,\pm 3), (\pm 2\sqrt{2}, 9)[/mm].
> Habe ich einige vergessen oder mich verrechnet?
>
Auch hier hast Du Dich verrechnet.
Es muss [mm]\lambda=\pm 3[/mm] sein.
> Jetzt muss ich ja nur noch die Funktionswerte bestimmen und
> daraus Minima und Maxima ermitteln oder fehlt noch ein
> Nachweis?
>
> Freue mich auf eure Ratschläge.
>
> Grüße
> Joe
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower,
danke dir für die Antwort. Ja, also das mit dem Rechnen habe ich fast schon erwartet :)
Also bleiben im Grunde nur $(0, [mm] \pm [/mm] 3)$ als Kandidaten übrig und da $f(0,3) = 6$ und $f(0,-3) = -6$ folgt mit der obigen Argumentation Max $= (0,3)$ und Min $= (0,-3)$.
Wäre eine solche Rechnung und Begründung ausreichend?
Grüße
Joe
|
|
|
| |
|
Hallo JoeSunnex,
> Hallo MathePower,
>
> danke dir für die Antwort. Ja, also das mit dem Rechnen
> habe ich fast schon erwartet :)
>
> Also bleiben im Grunde nur [mm](0, \pm 3)[/mm] als Kandidaten übrig
> und da [mm]f(0,3) = 6[/mm] und [mm]f(0,-3) = -6[/mm] folgt mit der obigen
> Argumentation Max [mm]= (0,3)[/mm] und Min [mm]= (0,-3)[/mm].
>
> Wäre eine solche Rechnung und Begründung ausreichend?
>
Ja.-
> Grüße
> Joe
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:49 Do 24.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Beide Aufgaben kannst Du mit Schulmathematik lösen:
A 1): Der Graph der Funktion $f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] gegeben durch [mm] $f(z)=\sinh(z)$ [/mm] rotiere um die z - Achse. Es entsteht der Rotationskörper $K.$
A 2): Löse die Nebenbedingung [mm] x^2+\bruch{y^2}{9}=1 [/mm] nach [mm] x^2 [/mm] auf und sezte in $f$ ein. Das führt auf eine Extremwertaufgabe für
[mm] $g(y)=1-\bruch{y^2}{9}-2y$, [/mm] $y [mm] \in [/mm] [-3,3]$
FRED
|
|
|
|
