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| Aufgabe 1 | Integrieren sie:
[mm] \integral_{\Phi}{\sqrt{1+x^2+y^2} dx dy}
[/mm]
[mm] \Phi: [\pi,3\pi] \in [/mm] t [mm] \rightarrow (t\cdot cos(t),t\cdot\,sin(t)) [/mm] |
| Aufgabe 2 | [mm] \integral_{\gamma}{x^2 dx + x dy}
[/mm]
[mm] \gamma: [0,2\pi] \in [/mm] t [mm] \rightarrow [/mm] (cos(t),sin(t)) |
Hallo zusammen,
Ich sitze seit einer Weile vor diesen Aufgaben und bin am verzweifeln.
Mein hauptsächliches Problem liegt in der Integrationsgrenzenbestimmung. Wobei das ja auch fast die ganze Schwierigkeit der Aufgaben ist.
Aufgabe 1:
Hier bin ich mal soweit gekommen, zu wissen das es ne Spirale ist. Allerdings ist mir auch grafisch nich ganz klar was ich da integriere. Ich hab ne Skizze gemacht, von der ich glaube das es vllt sein könnte.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vom Gefühl her würde ich jetzt sagen ich integriere über die blaue und gelbe Fläche. Allerdings irretiert mich das Funktionsstück, das den blauen und gelben Bereich trennt.
Soweit sogut. Aber selbst wenn ich jetzt wüsste über was ich (grafisch) integriere, wie stelle ich dann meine Grenzen für die Integrale auf? Ich kann das ja jetzt nicht in t angeben oder?
Aufgabe 2:
Erst ma grundlegend, kennt jemand diese Integralschreibweise? Ich weiß nicht ob es ein Tippfehler ist oder ob das so etwas zu bedeuten hat. Also das + x dy verwirrt mich etwas.
Danke schon einmal für eure Hilfe.
Erlkoenig
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Fr 20.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 2:
Ist [mm] $\gamma [/mm] = [mm] (\gamma_1, \gamma_2): [/mm] [a,b] [mm] \to \IR^2$ [/mm] ein stückweise stetig differenzierbarer Weg und sind [mm] f_1,f_2: \gamma([a,b]) \to \IR [/mm] stetig, so ist
[mm] $\integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y) dx+f_2(x,y) dy}:= \integral_{a}^{b}{(f_1(\gamma(t))* \gamma_1'(t) +f_2(\gamma(t))* \gamma_2'(t))dt}$
[/mm]
Aufgabe 1 ist merkwürdig. Schau nochmal nach , ob Du das richtig abgetippt hast
FRED
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Aufgabe 1: Integrieren sie die Funktion [mm] f(x,y)=\sqrt{1+x^2+y^2}
[/mm]
entlang des Stückes [mm] \Phi.
[/mm]
[mm] \Phi:t \in [\pi,3\pi] \rightarrow (t\cdot cos(t),t\cdot\,sin(t))
[/mm]
Aufgabe 2:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y) dx+f_2(x,y) dy}:= \integral_{a}^{b}{(f_1(\gamma(t))\cdot{} \gamma_1'(t) +f_2(\gamma(t))\cdot{} \gamma_2'(t))dt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(t)^2*-sin(t)+cos(t)*cos(t)dt}
[/mm]
Dann weiter mit Additionstheorem:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{-\frac{1}{2}\cdot(1+cos(2t))\cdot sin(t)+\frac{1}{2}\cdot(1+cos(2t))dt}
[/mm]
Noch mehr Additionstheorem:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{-\frac{1}{2}sin(t)-\frac{1}{2}sin(t)\cdot cos(2t)+\frac{1}{2}\cdot(1+cos(2t))dt}
[/mm]
Und eine letzte Runde:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{-\frac{1}{2}sin(t)-\frac{1}{2}(sin(-t)+sin(3t))+\frac{1}{2}\cdot(1+cos(2t))dt}
[/mm]
noch auseinander gezogen und eingesetzt ergiebt = [mm] \pi. [/mm] Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Sa 21.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Aufgabe 1: Integrieren sie die Funktion
> [mm]f(x,y)=\sqrt{1+x^2+y^2}[/mm]
> entlang des Stückes [mm]\Phi.[/mm]
> [mm]\Phi:t \in [\pi,3\pi] \rightarrow (t\cdot cos(t),t\cdot\,sin(t))[/mm]
Das ist ein ![[]](/images/popup.gif) Kurvenintegral 1. Art. Such die passende Formel, setz ein, vereinfache, substituiere, schreib Stammfunktion hin, und setz Grenzen ein.
> Aufgabe 2:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)^2*-sin(t)+cos(t)*cos(t)dt}[/mm]
Mit richtiger Klammersetzung ja.
> Dann weiter mit Additionstheorem:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{-\frac{1}{2}\cdot(1+cos(2t))\cdot sin(t)+\frac{1}{2}\cdot(1+cos(2t))dt}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Noch mehr Additionstheorem:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{-\frac{1}{2}sin(t)-\frac{1}{2}sin(t)\cdot cos(2t)+\frac{1}{2}\cdot(1+cos(2t))dt}[/mm]
> Und eine letzte Runde:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{-\frac{1}{2}sin(t)-\frac{1}{2}(sin(-t)+sin(3t))+\frac{1}{2}\cdot(1+cos(2t))dt}[/mm]
Das zweite [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] muss ein [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] sein. Dann stimmt es.
> noch auseinander gezogen und eingesetzt ergiebt = [mm]\pi.[/mm]
Das Ergebnis stimmt. (Das Integral von [mm] de$\sin(-t) [/mm] + [mm] \sin(3 [/mm] t)$ ist 0, deswegen stoert die falsche Konstante davor nicht.)
LG Felix
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[mm] \integral_{\pi}^{3\pi}{f(\gamma(t))\cdot||\gamma(t)'||dt}
[/mm]
mit [mm] ||\gamma(t)'||=\sqrt{1+\frac{d\,sin(t)t}{dt}}
[/mm]
und [mm] f(\gamma(t))= \sqrt{1+t^2cos^2(t)+t^2sin^2(t)}
[/mm]
führt dann zu
[mm] \integral_{\pi}^{3\pi}{\sqrt{1+t^2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{cos(2t)}{2}-\frac{cos(2t)}{2}\right)}}\cdot \sqrt{1+(tcos(t)+sin(t))^2}
[/mm]
weiter zu:
[mm] \integral_{\pi}^{3\pi}{\sqrt{1+t^2}}\cdot \sqrt{1+(tcos(t)+sin(t))^2}dt
[/mm]
So und jetzt macht mir das Integral Kummer... ich weiß nicht mehr weiter... wenn ich versuch was zu vereinfachen wirds immer länger... und wenn ich substituiere komm ich irgendwie auch nicht zum Ziel...
Vielen Dank für die Hilfe
LG
Erlkoenig
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 Sa 21.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\integral_{\pi}^{3\pi}{f(\gamma(t))\cdot||\gamma(t)'||dt}[/mm]
> mit [mm]||\gamma(t)'||=\sqrt{1+\frac{d\,sin(t)t}{dt}}[/mm]
Da hast du dich eindeutig verrechnet!
> und [mm]f(\gamma(t))= \sqrt{1+t^2cos^2(t)+t^2sin^2(t)}[/mm]
Das wiederum stimmt, ebenso [mm] $f(\gamma(t)) [/mm] = [mm] \sqrt{1 + t^2}$ [/mm] aus dem Integral weiter unten.
> So und jetzt macht mir das Integral Kummer... ich weiß
> nicht mehr weiter... wenn ich versuch was zu vereinfachen
> wirds immer länger... und wenn ich substituiere komm ich
> irgendwie auch nicht zum Ziel...
Berechne erstmal [mm] $\|\gamma'(t)\|$ [/mm] richtig :)
Dann wird es viel einfacher... (Ich glaub du brauchst gar nicht zu substitutieren wenn du es richtig hast.)
Reche doch zuerst mal [mm] $\gamma'(t)$ [/mm] aus.
LG Felix
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Okay also:
[mm] \gamma=(t*cos(t),t*sin(t))
[/mm]
ou zonk... ich hab mich nich verrechnet... ich hab glaub etwas wohlwollend in wikipedia interpretiert... ja mir wird glaube ich grad klar was mein Fehler war.
dann folgt eher:
[mm] \gamma'(t)=(cos(t)-t*sin(t),t*cos(t)+sin(t))
[/mm]
weiter dann:
[mm] ||\gamma'(t)||=\sqrt{(cos(t)-t*sin(t))^2+(t*cos(t)+sin(t))^2}
[/mm]
Das dann ausmultipliziert und ausgeklammert kürzt sich 2 mal [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm]
erneut zu: [mm] \sqrt{1+t^2}
[/mm]
und das integral wird zu:
[mm] \integral_{\pi}^{3\pi}{1+t^2}dt=2\pi+\frac{26\pi^3}{3}
[/mm]
Das sieht gut aus, ich hoffe es stimmt.
Eine abschließende Frage noch, in unserem Skript steht zur Definition des Kurvenintegrals, also zu genau dem was du mir gesagt hast bzw womit ich gerechnet habe folgender Satz:
Eine solche Defi nition macht Sinn, nur wenn das Integral sich bei einer Umparametrisierung der Kurve nicht ändert.
Wann ist das der Fall bzw wie kann ich mir das vorstellen? Warum sollte es sich überhaupt durch eine Parameterisierung ändern?
Vielen Dank für deine Geduld.
Lg
Erlkoenig
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:21 Sa 21.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Okay also:
> [mm]\gamma=(t*cos(t),t*sin(t))[/mm]
>
> ou zonk... ich hab mich nich verrechnet... ich hab glaub
> etwas wohlwollend in wikipedia interpretiert... ja mir wird
> glaube ich grad klar was mein Fehler war.
Oder bei der falschen Formel geschaut  Naemlich bei der fuer [mm] $\gamma(t) [/mm] = (t, t [mm] \sin [/mm] t)$.
> dann folgt eher:
> [mm]\gamma'(t)=(cos(t)-t*sin(t),t*cos(t)+sin(t))[/mm]
>
> weiter dann:
>
> [mm]||\gamma'(t)||=\sqrt{(cos(t)-t*sin(t))^2+(t*cos(t)+sin(t))^2}[/mm]
>
> Das dann ausmultipliziert und ausgeklammert kürzt sich 2
> mal [mm]sin^2+cos^2=1[/mm]
> erneut zu: [mm]\sqrt{1+t^2}[/mm]
Genau.
> und das integral wird zu:
> [mm]\integral_{\pi}^{3\pi}{1+t^2}dt=2\pi+\frac{26\pi^3}{3}[/mm]
>
> Das sieht gut aus, ich hoffe es stimmt.
Ja, es stimmt.
> Eine abschließende Frage noch, in unserem Skript steht
> zur Definition des Kurvenintegrals, also zu genau dem was
> du mir gesagt hast bzw womit ich gerechnet habe folgender
> Satz:
>
> Eine solche Defi nition macht Sinn, nur wenn das Integral
> sich bei einer Umparametrisierung der Kurve nicht ändert.
>
> Wann ist das der Fall bzw wie kann ich mir das vorstellen?
> Warum sollte es sich überhaupt durch eine
> Parameterisierung ändern?
Nun, der Satz bezieht sich darauf, wenn die Kurve nicht in parametrisierter Form gegeben ist, sondern einfach als Punktmenge (mit "Richtung"); etwa $C = [mm] \{ (t, 2 t) \in \IR^2 \mid t \in [0, 1] \}$, [/mm] anstelle von [mm] $\gamma [/mm] : [0, 1] [mm] \to \IR^2$, [/mm] $t [mm] \mapsto [/mm] (t, 2 t)$. Es ist beides mal die gleiche Kurve, allerdings ist bei der ersten Menge nicht klar, wie sie parametrisiert werden soll. Man koennte ja auch [mm] $\varphi [/mm] : [0, 10] [mm] \to \IR^2$, [/mm] $t [mm] \mapsto ((t/10)^2, [/mm] 2 [mm] (t/10)^2)$ [/mm] nehmen. Und [mm] $\int_\gamma [/mm] f [mm] \; [/mm] ds$ muss ja nicht gleich [mm] $\int_\varphi [/mm] f [mm] \; [/mm] ds$ sein, obwohl [mm] $\gamma$ [/mm] und [mm] $\varphi$ [/mm] die "gleiche" Kurve $C$ beschreiben. Man kann zeigen, dass es bei Kurvenintegralen 1. Art (so wie bei diesem Beispiel hier) trotzdem der Fall ist.
Bei Kurvenintegralen 2. Art (also das was du hier fast richtig gerechnet hast) dagegen haengt der Wert des Integrals i.A. sehr wohl von der Parametrisierung ab. Ist jedoch der Ingrand $f$ dort ein Gradient einer anderen Funktion, so ist das Integral sehr wohl wegunabhaengig. Siehe z.B. hier oder auch hier.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:23 Sa 21.08.2010 | | Autor: | felixf |
Ein Zusatz:
> Ist jedoch der Ingrand [mm]f[/mm] dort ein Gradient einer anderen
> Funktion, so ist das Integral sehr wohl wegunabhaengig.
Es gilt auch die Umkehrung; diese hier.
LG Felix
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