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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mi 24.10.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Integrale[...]
b.) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{ax+b} dx}
[/mm]
c.) [mm] \integral_{0}^{1}{ln(\bruch{2}{x+3}) dx} [/mm] |
Hallo!
Stehe bei der Aufgabe auf dem Schlauch.
b.) habe die Lösung nun durch "lineare Substitution" rausbekommen. Das habe ich aber mehr oder weniger von einer Beispielaufgabe abgeschrieben, wüsste gerne wie man auch ohne lineare Substitution zur Lösung kommt.
c.)Habe versucht zu substituieren und dann den ln zu integrieren, der Taschenrechner sagt jedoch, dass das Ergebnis falsch ist.
Schönen Dank für eure Hilfe!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo ONeill!
Du kannst hier auch auf die lineare Substitution verzichten, wenn Du wie folgt umformst:
[mm] $$\integral{\bruch{1}{a*x+b} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*\integral{\bruch{a}{a*x+b} \ dx}$$
[/mm]
Nun steht im Zähler original die Ableitung des Nenners, so dass Du die Formel für logarithmische Integration verwenden kannst (auch wenn hier im Prinzip auch die Substitution dahintersteckt):
[mm] $$\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = [mm] \\ln\left|f(x)\right| [/mm] + c$$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo ONeill!
Wende zunächst eines der  Logarithmusgesetze an und forme um:
[mm] $$\ln\left(\bruch{2}{x+3}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(2)-\ln(x+3)$$
[/mm]
Um nun den hinteren Term zu integrieren, musst Du partielle Integration anwenden mit:
[mm] $$\integral{\ln(x+3) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\red{1}*\ln(x+3) \ dx}$$
[/mm]
Wähle hier $u' \ = \ 1$ sowie $v \ = \ [mm] \ln(x+3)$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mi 24.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Ein großes Dankeschön Loddar!
Gruß ONeill
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 25.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo! Trotz deiner Antwort komme ich grad nicht weiter, die Grnezen lass ich jetzt erstmal weg, die sind eh nebensächlich.
[mm] \integral_{}^{}{ln(\bruch{2}{x+3}) dx}=\integral_{}^{}{ln(2)-ln(x+3) dx}
[/mm]
Soweit erstmal, den ln(2) Teil lass ich jetzt mal weg, da ist ja eh schon alles klar.
[mm] \integral_{}^{}{-ln(x+3) dx} [/mm] partielle Integration
[mm] =-x*ln(x+3)-\integral_{}^{}{-x*\bruch{1}{x+3} dx}
[/mm]
partielle Integration mit [mm] u´=\bruch{1}{x+3} [/mm] und v=ln(x+3)
[mm] =-x*ln(x+3)-(-x*ln(x+3)-\integral_{}^{}{ \bruch{-1}{x+3} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{ \bruch{1}{x+3} dx}
[/mm]
= [ln(x+3)]
Nun die Frage, wo ist der Fehler? Danke!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Do 25.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo! Trotz deiner Antwort komme ich grad nicht weiter,
> die Grnezen lass ich jetzt erstmal weg, die sind eh
> nebensächlich.
>
> [mm]\integral_{}^{}{ln(\bruch{2}{x+3}) dx}=\integral_{}^{}{ln(2)-ln(x+3) dx}[/mm]
>
> Soweit erstmal, den ln(2) Teil lass ich jetzt mal weg, da
> ist ja eh schon alles klar.
> [mm]\integral_{}^{}{-ln(x+3) dx}[/mm] partielle Integration
> [mm]=-x*ln(x+3)-\integral_{}^{}{-x*\bruch{1}{x+3} dx}[/mm]
>
> partielle Integration mit [mm]u´=\bruch{1}{x+3}[/mm] und v=ln(x+3)
Moment, dann muss v=x sein, da hast du falsch eingesetzt. Wenn du richtig einsetzt, kommt das Integral vom Anfang wieder raus (weil du die partielle Integration aus dem ersten Schritt rückwärts machst).
Besser:
[mm]\integral{x*\bruch{1}{x+3} dx} = \integral{\bruch{(x+3)-3}{x+3} dx} = \integral 1\, dx - 3 \integral \bruch{1}{x+3}\,dx = x - 3 \ln(x+3)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Do 25.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Rainer!
vielen Dank für die Hilfe, das Ergebnis passt nun, danke!
Gruß ONeill
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