Integration u. Satz v. Fubini < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:(0,1]\times(0,1]\rightarrow \IR [/mm] ist gegeben durch:
[mm] f(x,y)=\begin{cases} y^{-2}, & \mbox{falls } 0 < x < y \le 1 \\ -x^{-2}, & \mbox{falls } 0 < y < x \le 1 \\ 0, & \mbox{falls } 0 < x = y \le 1 \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie die Integrale
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy [/mm] und [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dydx.
[/mm]
Warum gilt der Satz von Fubini in diesem Fall nicht? |
Hi,
Fall 1) [mm] f(x,y)=y^{-2}:
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}y^{-2}dx)dy=\integral_{0}^{1}[\bruch{x}{y^{-2}}]_{0}^{1}dy=\integral_{0}^{1}y^{-2}dy=[-y^{-1}]_{0}^{1}=-1+\bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
Hier wäre die Frage, ob [mm] \bruch{1}{0} [/mm] durch [mm] \infty [/mm] definiert werden kann
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}y^{-2}dy)dx=\integral_{0}^{1}[-y^{-1}]_{0}^{1}dx [/mm] = [mm] \infty [/mm] wie eben?
Fall 2) [mm] f(x,y)=-x^{-2}:
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}-x^{-2}dx)dy=\integral_{0}^{1}[x^{-1}]_{0}^{1}dy= \infty [/mm] ?
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}-x^{-2}dy)dx=\integral_{0}^{1}[-\bruch{y}{x^{2}}]_{0}^{1}dx=\integral_{0}^{1}-x^{-2}dx [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
Fall 3) f(x,y)=0:
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}0dx)dy=\integral_{0}^{1}0dy=0=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}0dy)dx
[/mm]
Finde die Aufgabe ein wenig merkwürdig. Hat jemand hierzu zufällig eine Idee? 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mi 28.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Die Fälle formulieren Bedingungen für x und y, die Du nicht beachtest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Hm ok, nur die Bedingungen machen mich grad ein wenig stutzig.
z.B. Fall 1) 0 < x < y [mm] \le [/mm] 1
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}\bruch{1}{y^{2}}dx)dy=\integral_{0}^{1}[\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{1}dy
[/mm]
Kann man denn jetzt, um das innere Integral zu berechnen, für das x einfach 0 und 1 einsetzen? Weil x gem. unseren Fallbedingungen nicht den Wert 0 und auch nicht 1 annimmt. Oder denke ich grad falsch? :-D
LG
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Hiho,
deine Grenzen sind schon falsch.
z.B. Integrierst du ja in deinem Fall auch über $y = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] x > [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] was der Bedingung widerspricht.
Korrigiere also erstmal deine Grenzen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Ok,.. wie wäre das dann in Fall 1):
Könnte man denn da schreiben: [mm] \integral_{x}^{1}(\integral_{0}^{y}y^{-2}dx)dy?
[/mm]
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Hiho,
> Ok,.. wie wäre das dann in Fall 1):
>
> Könnte man denn da schreiben:
> [mm]\integral_{x}^{1}(\integral_{0}^{y}y^{-2}dx)dy?[/mm]
Nein, was soll denn das x in der Grenze, wenn du nach x integrierst??
Du hast 0 < x < y < 1
Welche Werte kann x annehmen => Das sind deine Grenzen für x.
Welche Werte kann y DANN noch annehmen => Das sind deine Grenzen für y.
So schwer ist das ja nun nicht...
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Do 29.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Ok,
mir war noch nicht so richtig klar, wie das mit dem Mehrfachintegral funktioniert. Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe müsste es so sein:
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}f(x,y)dx)dy, [/mm] da y die Werte (0,1] annehmen kann (außen wird ja über y integriert) und dann x die Werte (0,y) (innen wird über x integriert). Wär das so ok?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Do 29.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Lang ist es her, aber fang mal so mit a) an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Ok
Also Fall 1) 0 < x < y [mm] \le [/mm] 1:
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dx)dy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}y^{-2}dx)dy=\integral_{0}^{1}[\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{y}dy=\integral_{0}^{1}\bruch{1}{y}dy=[ln(y)]_{0}^{1}=0
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dy)dx=\integral_{0}^{1}(\integral_{x}^{1}y^{-2}dy)dx=\integral_{0}^{1}[-\bruch{1}{y}]_{x}^{1}dx=\integral_{0}^{1}\bruch{1-x}{x}dx=[ln(x)-x]_{0}^{1}=-1
[/mm]
Also das sieht vom Ergebnis her schonmal gut aus mit [mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dx)dy\not=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dy)dx
[/mm]
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Hiho,
> [mm]\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dx)dy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}y^{-2}dx)dy=\integral_{0}^{1}[\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{y}dy=\integral_{0}^{1}\bruch{1}{y}dy=[ln(y)]_{0}^{1}=0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dein letztes Gleichheitszeichen ist Blödsinn
> [mm]\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dy)dx=\integral_{0}^{1}(\integral_{x}^{1}y^{-2}dy)dx=\integral_{0}^{1}[-\bruch{1}{y}]_{x}^{1}dx=\integral_{0}^{1}\bruch{1-x}{x}dx=[ln(x)-x]_{0}^{1}=-1[/mm]
Hier ebenso.
Du solltest dich nochmal mehr mit dem [mm] \ln [/mm] vertraut machen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Topologe |
[mm] [ln(y)]_{0}^{1}=ln(1)-ln(0)=0-'nicht [/mm] definiert' [mm] \rightarrow [/mm] wäre dann das Ergebnis nicht einfach 0?
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Hiho,
> [mm][ln(y)]_{0}^{1}=ln(1)-ln(0)=0-'nicht[/mm] definiert' [mm]\rightarrow[/mm]
> wäre dann das Ergebnis nicht einfach 0?
nein, wäre es nicht.
![[]](/images/popup.gif) Du hast einiges nachzuarbeiten...
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Achso danke, also müsste man dann folgendes schreiben?
[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{y} [/mm] dy = [mm] lim_{\alpha\rightarrow 0}\integral_{\alpha}^{1}\bruch{1}{y}dy=lim_{\alpha\rightarrow 0}[ln(y)]_{\alpha}^{1}=lim_{\alpha\rightarrow 0}(ln(1)-ln(\alpha))=0-(-\infty)=\infty
[/mm]
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Hiho,
> [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{1}{y}[/mm] dy = [mm]lim_{\alpha\rightarrow 0}\integral_{\alpha}^{1}\bruch{1}{y}dy=lim_{\alpha\rightarrow 0}[ln(y)]_{\alpha}^{1}=lim_{\alpha\rightarrow 0}(ln(1)-ln(\alpha))=0-(-\infty)=\infty[/mm]
Ja.
Das bringt dir aber nichts, weil dein Ansatz die Integrale getrennt auszurechnen, nicht funktioniert und falsch ist.
Du implizierst nämlich indirekt, dass das Integral linear ist.
Rechne die Funktion doch mal ohne Fallunterscheidung in deinem Fall aus!
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Sa 31.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Ohne Fallunterscheidung?
Also einfach
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}y^{-2}dx)dy?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Sa 31.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ohne Fallunterscheidung?
> Also einfach
>
> [mm]\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}y^{-2}dx)dy?[/mm]
nein
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Sa 31.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Ok, dann weiss ich grad nicht so wirklich worauf ihr hinauswollt. Vllt seh ich ja den Wald vor lauter Bäumen nicht
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Hiho,
du sollst sauber einmal das Integral:
[mm] $\int_0^1 \int_0^1 [/mm] f(x,y) dx dy$
Und einmal
[mm] $\int_0^1 \int_0^1 [/mm] f(x,y) dy dx$
Also fange an:
[mm] $\int_0^1 \int_0^1 [/mm] f(x,y) dx dy = [mm] \ldots$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 01.02.2015 | | Autor: | Topologe |
Also eigentlich kenne ich nur solche Notationen:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dx)dy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dy)dx
[/mm]
Was anderes ist mir leider gar nicht geläufig
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:18 So 01.02.2015 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Topologe,
Es gilt doch:
[mm] $\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy=\integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{y}f(x,y)dx+\integral_{x=y}f(x,y)dx+\integral_{y}^{1}f(x,y)dx\right)dy=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}f(x,y)dxdy+\integral_{0}^{1}\integral_{x=y}f(x,y)dxdy+\integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}f(x,y)dxdy$
[/mm]
Jetzt musst du nur noch die 3 Teile von f den 3 Integralen zuordnen und ausrechnen.
Viele Grüße
DerGraf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Topologe |
Achso, ok.
Also: [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}f(x,y)dxdy [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{x=y}f(x,y)dxdy [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}f(x,y)dxdy
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}y^{-2}dxdy [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{x=y}0dxdy [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}-x^{-2}dxdy
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}y^{-2}dxdy=\integral_{0}^{1}[\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{y}dy=\integral_{0}^{1}\bruch{1}{y}dy=lim_{A\rightarrow 0} [ln(y)]_{A}^{1} [/mm] = [mm] lim_{A\rightarrow 0}(ln(1)-ln(A))=\infty
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{x=y}0dxdy=0
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}-x^{-2}dxdy=\integral_{0}^{1}[\bruch{1}{x}]_{y}^{1}dy=\integral_{0}^{1}1-\bruch{1}{y}dy=lim_{A\rightarrow 0}[y-ln(y)]_{A}^{1}=\infty
[/mm]
Also [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy=\infty
[/mm]
Wäre das so bis hierhin ok?
Und Satz von Fubini gilt nicht, da f(x,y) nicht stetig?
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Hiho,
deine Idee ist richtig, aber derGraf hat dir einen falschen Hinweis gegeben.
Das Auseinanderziehen funktioniert nämlich nicht!
Wann darfst du denn die Linearität des Integrals ausnutzen?
Warum darfst du das hier nicht?
> Also: [mm]\integral_{0}^{1}dy[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{x=y}f(x,y)dxdy[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}dy[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{1}dy[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}dy[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}dy[/mm]
Hier hast du schon einen Fehler gemacht, es heißt nämlich korrekt erstmal NUR:
[mm] $\integral_0^1 \left(\integral_{0}^{y}y^{-2}dx + \integral_{x=y}0dx + \integral_{y}^{1}-x^{-2}dx\right) [/mm] dy$
Jetzt weiter im Text!
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Topologe |
Uff ok^^
Gut [mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}-y^{-2}dx+\integral_{x=y}0dx+\integral_{y}^{1}-x^{-2}dx)dy
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}([\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{y}+0+[\bruch{1}{x}]_{y}^{1})dy
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}(\bruch{1}{y}+(1-\bruch{1}{y}))dy=\integral_{0}^{1}1dy=1
[/mm]
Wär das jetzt bis hierhin ok?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Mo 02.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Uff ok^^
>
> Gut
> [mm]\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}-y^{-2}dx+\integral_{x=y}0dx+\integral_{y}^{1}-x^{-2}dx)dy[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}([\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{y}+0+[\bruch{1}{x}]_{y}^{1})dy[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}(\bruch{1}{y}+(1-\bruch{1}{y}))dy=\integral_{0}^{1}1dy=1[/mm]
>
> Wär das jetzt bis hierhin ok?
Ja
FRED
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Hiho,
und jetzt das gleiche für die vertauschten Integralgrenzen.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 Di 03.02.2015 | | Autor: | Topologe |
Ok,...
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dydx=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{x}-x^{-2}dy+\integral_{x=y}0dy +\integral_{x}^{1}y^{-2}dy)dx
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}([-\bruch{y}{x^{2}}]_{0}^{x}+0+[-\bruch{1}{y}]_{x}^{1})dx
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}(-\bruch{1}{x}+0+(-1+\bruch{1}{x}))dx
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}-1dx=-1 \not= \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy [/mm]
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Hiho,
na sieht doch schon besser aus
Verstanden, was du vorher falsch machtest?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Di 03.02.2015 | | Autor: | Topologe |
Super
Darauf wäre ich im Leben nie alleine gekommen! Ist jetzt alles schon klarer, danke!
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:10 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
dein letztes Gleichheitszeichen ist falsch.
Du kannst im äußeren Integral keine Linearität voraussetzen und das führt auch zum falschen Ergebnis.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:21 Mo 02.02.2015 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Gono,
Linearität ist doch eine grundlegende Eigenschaft von Lebesgue-Integralen. Mehr verwende ich beim letzten Gleichheitszeichen nicht.
Viele Grüße
DerGraf
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Hiho,
> Linearität ist doch eine grundlegende Eigenschaft von Lebesgue-Integralen.
nur wenn die Einzelintegrale existieren, das tun sie hier aber nicht!
Voraussetzungen beachten, auch von "grundlegenden Eigenschaften"!
Das gilt sogar trivialerweise schon bei Summen, die Gleichheit
[mm] $\summe_{n=1}^\infty [/mm] 0 = [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^\infty -\bruch{1}{n} [/mm] $
ist Blödsinn, weil links was definiertes steht, rechts aber nicht.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 23:19 Mo 02.02.2015 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Gono,
dein Einwand klingt erst einmal einleuchtend, doch bin ich mir nicht sicher, ob man bei den erweiterten reellen Zahlen nicht doch mit der Linearität arbeiten könnte, da dort "unendlich" einen zulässigen Wert darstellt und somit dein Beispiel
$ [mm] \summe_{n=1}^\infty [/mm] 0 = [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^\infty -\bruch{1}{n} [/mm] $
eine sinnvolle rechte Seite hat. Im Allgemeinen kennt man die "Mächtigkeit" der einzelnen "Unendlichs" nicht, doch hier sieht man ja, dass sie "gleichmächtig" sind. Was meinst du?
Viele Grüße
DerGraf
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Hiho,
> dein Einwand klingt erst einmal einleuchtend, doch bin ich
> mir nicht sicher, ob man bei den erweiterten reellen Zahlen
> nicht doch mit der Linearität arbeiten könnte, da dort
> "unendlich" einen zulässigen Wert darstellt und somit dein
> Beispiel
>
> [mm]\summe_{n=1}^\infty 0 = \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n} + \summe_{n=1}^\infty -\bruch{1}{n}[/mm]
>
> eine sinnvolle rechte Seite hat.
Nein hat sie nicht. Rechts steht der Ausdruck [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$, [/mm] der keinen sinnvollen Wert annehmen kann.
Du behauptest nun also, es wäre sinnvoll "gleichmächtige [mm] \infty$" [/mm] zu definieren, was wohl darauf hinaus laufen soll, oben zu schreiben [mm] "$\infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] = 0$"
Das liefert aber sofort:
[mm] $\infty [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{2}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^\infty -\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{2}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^\infty -\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] = 0$
Was offensichtlich ein Widerspruch darstellt.
Es gibt keinen sinnvollen Weg die Differenz von Unendlichkeiten zu definieren.
edit: Und dass das ja nicht funktioniert, siehst du ja auch in dieser Aufgabe.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 10:37 Di 03.02.2015 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Gono,
ich dachte mir die Rechnung so:
[mm] $\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}f(x,y)dxdy+\integral_{0}^{1}\integral_{x=y}f(x,y)dxdy+\integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}f(x,y)dxdy [/mm] $
[mm] $=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}y^{-2}dxdy+\int_0^1\integral_{x=y}0dxdy+\int_{0}^{1}\integral_{y}^{1}-x^{-2}dxdy$
[/mm]
[mm] $=\integral_{0}^{1}y^{-1}dy+\int_{0}^{1}0dy+\int_{0}^{1}1-y^{-1}dy$
[/mm]
[mm] $=\integral_{0}^{1}y^{-1}dy+0+\int_{0}^{1}1dy-\int_{0}^{1}y^{-1}dy$
[/mm]
[mm] $=\int_{0}^{1}1dy=1,$
[/mm]
weshalb ich an der Rechnung erst einmal gar nichts gesehen habe. Dass ich die Integrale bei meinem vorletzten "$=$" nicht einfach gegeneinander kürzen kann, zeigt mir nun dein Gegenbeispiel.
Also vielen Dank für deine anschauliche Erklärung!
Viele Grüße
DerGraf
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Hiho,
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dx)dy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dy)dx[/mm]
> Was anderes ist mir leider gar nicht geläufig
das letzte Gleichheitszeichen willst du hier doch gerade überprüfen und stimmt hier mal gar nicht!!
Der Graf hat dir gezeigt, wie es weitergeht.
Mache dir klar, warum das Sinn macht und rechne weiter.
Gruß,
Gono
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