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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Argot |
| Aufgabe | Berechnen sie folgendes Integral: [mm]\integral{\wurzel{1-t^2} dt}[/mm]
Substituieren Sie [mm]t = sin x[/mm]. |
Was ich gemacht habe:
[mm]\integral{\wurzel{1-t^2} dt} = \integral{\wurzel{1-sin^2(x)} dx} = \integral{\wurzel{cos^2(x)} dx} = \integral{cos(x) dx}[/mm]
Die Musterlösung hingegen spricht von:
[mm]\integral{\wurzel{1-t^2} dt} = \integral{cos^2(x)} dx}[/mm] und führt dann eine partielle Integration durch.
Habe ich einen Fehler gemacht oder ist die Musterlösung falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen sie folgendes Integral: [mm]\integral{\wurzel{1-t^2} dt}[/mm]
>
> Substituieren Sie [mm]t = sin x[/mm].
> Was ich gemacht habe:
>
> [mm]\integral{\wurzel{1-t^2} dt} = \integral{\wurzel{1-sin^2(x)} dx} = \integral{\wurzel{cos^2(x)} dx} = \integral{cos(x) dx}[/mm]
>
> Die Musterlösung hingegen spricht von:
>
> [mm]\integral{\wurzel{1-t^2} dt} = \integral{cos^2(x)} dx}[/mm] und
> führt dann eine partielle Integration durch.
>
> Habe ich einen Fehler gemacht oder ist die Musterlösung
> falsch?
Du hast vergessen, das Differential anzupassen (Du kannst ja eine Funktion, die von [mm] $x\,$ [/mm] nach der Substitution abhängt, auch erstmal nur nach [mm] $x\,$ [/mm] integieren):
Also:
Aus [mm] $t=t(x)=\sin(x)$ [/mm] folgt [mm] $dt/dx=\cos(x)$ [/mm] bzw. [mm] $\red{dt}=\green{\cos(x)dx}\,.$
[/mm]
Somit folgt
[mm] $$\int \sqrt{1-t^2}dx=\int \sqrt{\cos^2(x)}\red{dt}=\int |\cos(x)|*\green{\cos(x)\,dx}$$
[/mm]
In der zweiten Gleichung siehst Du Deine Problematik: Es ist dort noch unklar, was [mm] $\int [/mm] f(x)dt$ ist, auch, wenn man dort [mm] $t=t(x)\,$ [/mm] hat.
P.S.
Ich habe übrigens die ein wenig allgemeiner gültige Formel [mm] $\sqrt{r^2}=|r|\,$ [/mm] für $r [mm] \in \IR$ [/mm] benutzt. Setzt man $r [mm] \ge [/mm] 0$ voraus, so gilt natürlich [mm] $\sqrt{r^2}=|r|=r\,.$ [/mm]
Wenn man eine Stammfunktion finden will, macht das auch Sinn, die Ausgangsfunktion so einzuschränken, dass man nach der Substitution auch die Funktion [mm] $\cos(\cdot)$ [/mm] auf ein Intervall eingeschränkt hat, wo der durchgehend nichtnegativ ist (man könnte sich aber auch überlegen, dass es auch Sinn machen würde, wenn er auf einem passenden Intervall dann durchgehend nichtpositiv wäre).
Wenn man aber den HDI im Sinne der Lebesgueschen Integrationstheorie hat, wären solche Einschränkungen quasi-wurscht...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Di 15.05.2012 | | Autor: | Argot |
Super, vielen Dank. Der Beitrag hat mir sehr geholfen (vor allem beim nachschlagen und verstehen).
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