Integration mit Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Do 30.06.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Integrieren: [mm] $\integral_{x_0}^{x_1} e^{\sqrt{x}}dx$ [/mm] |
Ich hab so angefangen:
[mm] $\integral_{x_0}^{x_1} e^{\sqrt{x}}dx [/mm] = ...$
[mm] $x(t)=t^2 \Leftrightarrow [/mm] t(x) = [mm] \sqrt{x} \Rightarrow \frac{dx}{dt}=2t \Rightarrow [/mm] dx =2t dt$
$... = [mm] \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)} e^{\sqrt{t^2}}2t [/mm] dt = [mm] \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)} e^t [/mm] 2t dt = 2 [mm] \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)}e^t \cdot [/mm] t dt = [mm] \left[ t\cdot e^t \right]_{t(x_0)}^{t(x_1)}-\integral_{t(x_0)}^{t(x_1)}e^t [/mm] dt = ...$
So, da muss ich ja jetzt noch partiell Integrieren. Welche Funktion muss ich aber dann als Grenzen einsetzen? Da komm ich total durcheinander. Wie kann ich mir das am besten merken?
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Hallo bandchef,
> Integrieren: [mm]\integral_{x_0}^{x_1} e^{\sqrt{x}}dx[/mm]
> Ich hab
> so angefangen:
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> [mm]\integral_{x_0}^{x_1} e^{\sqrt{x}}dx = ...[/mm]
>
> [mm]x(t)=t^2 \Leftrightarrow t(x) = \sqrt{x} \Rightarrow \frac{dx}{dt}=2t \Rightarrow dx =2t dt[/mm]
>
> [mm]... = \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)} e^{\sqrt{t^2}}2t dt = \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)} e^t 2t dt = 2 \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)}e^t \cdot t dt = \left[ t\cdot e^t \right]_{t(x_0)}^{t(x_1)}-\integral_{t(x_0)}^{t(x_1)}e^t dt = ...[/mm]
>
Hier hast Du den Faktor 2 vergessen:
[mm]... = \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)} e^{\sqrt{t^2}}2t dt = \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)} e^t 2t dt = 2 \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)}e^t \cdot t dt = \blue{2}*\left[ t\cdot e^t \right]_{t(x_0)}^{t(x_1)}-\blue{2*}\integral_{t(x_0)}^{t(x_1)}e^t dt = ...[/mm]
> So, da muss ich ja jetzt noch partiell Integrieren. Welche
> Funktion muss ich aber dann als Grenzen einsetzen? Da komm
> ich total durcheinander. Wie kann ich mir das am besten
> merken?
Substituiert hast Du [mm]x=t^{2}[/mm].
Die Integrattionsgrenzen transformieren sich dann gemäß [mm]t=\wurzel{x}[/mm]:
[mm]x_{0}=t^{2}_{0} \Rightarrow t_{0}= \ ...[/mm]
[mm]x_{1}=t^{2}_{1} \Rightarrow t_{1}= \ ...[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Do 30.06.2011 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \integral_{x_0}^{x_1} e^{\sqrt{x}}dx [/mm] = ... $
$ [mm] t(x)=\sqrt{x} \Leftrightarrow [/mm] x(t) = [mm] t^2 \Rightarrow \frac{dx}{dt}=2t \Rightarrow [/mm] dx =2t dt $ (Stimmt's nicht eignetlich so?)
$ ... = [mm] \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)} e^{\sqrt{t^2}}2t [/mm] dt = [mm] \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)} e^t [/mm] 2t dt = 2 [mm] \integral_{t(x_0)}^{t(x_1)}e^t \cdot [/mm] t dt = [mm] 2\left[ t\cdot e^t \right]_{t(x_0)}^{t(x_1)}-2\integral_{t(x_0)}^{t(x_1)}e^t [/mm] dt = ... $
Irgendwie hab ich das auch nicht verstanden was du mir als Antwort gegeben hast.
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Hallo,
> stimmt das nicht eigentlich so
Der Äquivalenzpfeil am Anfang stimmt nicht
> nicht verstanden
du hast gesetzt $t:= [mm] \sqrt{x}$ [/mm] als Substitution bzw. [mm] $t(x):=\sqrt{x}$. [/mm]
damit ist [mm] $t(x_{0})=\sqrt{x_{0}}$
[/mm]
Gruss
$k2$
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