Integration mit Subst.regel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 15.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Carsten,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Es geht ja lediglich um das Vorzeichen vor dem Logarithmus. Denn das Argument bleibt ja gleich, da [mm] $\left| \ 1-e^x \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ e^x-1 \ \right|$ [/mm] .
Vor dem eigentlichen Integrieren sollte man die Funktion folgendermaßen umformen (und dann siehst Du auch, wo das Minuszeichen herkommt):
[mm] $\bruch{1+e^x}{1-e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+e^x-2*e^x+2*e^x}{1-e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-e^x+2*e^x}{1-e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-e^x}{1-e^x}+\bruch{2*e^x}{1-e^x} [/mm] \ = \ [mm] 1+2*\bruch{e^x}{1-e^x} [/mm] \ = \ 1 \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] 2*\bruch{\red{-}e^x}{1-e^x}$
[/mm]
Nun haben wir einen Ausdruck, bei dem im Zähler exakt die Ableitung des Nenners steht. Also substituiere: $z \ := \ [mm] \text{Nenner} [/mm] \ = \ [mm] 1-e^x$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 So 15.01.2006 | | Autor: | smee |
>Nun haben wir einen Ausdruck, bei dem im Zähler exakt die Ableitung des Nenners steht.
Diese Möglichkeit habe ich natürlich übersehen ... aber jetzt ist alles klar!
Vielen Dank!
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Vielleicht noch Folgendes zur Ergänzung von Loddars Beitrag.
Unbestimmte Integrale kann man sinnvollerweise nur über Intervallen betrachten. Jetzt beachte, daß der Nenner des Integranden für [mm]x=0[/mm] verschwindet. Die Aufgabe müßte also eigentlich lauten:
Bestimme [mm]\int \ldots[/mm] für [mm]x>0[/mm] und bestimme [mm]\int \ldots[/mm] für [mm]x<0[/mm].
Und der Superintegrator von Wolfram unterschlägt den zweiten Fall. Deine Formel dagegen gilt sowohl im ersten als auch im zweiten Intervall, wenn man sie wie üblich so auffaßt, daß noch eine beliebige Konstante addiert werden darf. Allerdings werden durch deine Formel nicht alle Stammfunktionen auf [mm]\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}[/mm] erfaßt, da man auf jedem Teilintervall des Definitionsbereichs eine eigene Integrationskonstante wählen kann.
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