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| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}\bruch{cos³x}{cos²x+sin x-1} [/mm] |
Hallo!
Mit der Aufgabe oben komme ich irgendwie nicht zurecht.
Sieht mir nach Integration durch Substitution aus. Habe diesbezüglich auch schon mehrere Wege versucht, z.B. für t=cos x oder für t=sin x zu verwenden, aber irgendwie komme ich damit nicht weiter.
Hätte jemand einen Tipp/Ansatz für mich? Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm] \integral_{a}^{b}\bruch{cos^3x}{cos^2x+sin x-1}
[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn Du
[mm]1= sin^2x+cos^2x [/mm]
beachtest, kannst Du Dir die Funktion beträchtlich vereinfachen:
[mm] \bruch{cos^3x}{cos^2x+sin x-1}=\bruch{(1-sin^2x)cosx}{1-sin^2x+sin x-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{(1-sinx)(1+sinx)cosx}{sinx(1-sinx)}=\bruch{(1+sinx)cosx}{sinx}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ahja, vielen Dank!
Mit der Hilfe hab ichs noch mal nachgerechnet, substituiere t=sin x und komme im Ergebnis auf eine Stammfunktion F(x)=sin x.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Do 04.01.2007 | | Autor: | DesterX |
Hallo,
das stimmt leider noch nicht ganz.
Du betrachtest ja:
[mm] \integral {\bruch{(1+sinx)cosx}{sinx} dx }
[/mm]
Mit deiner Substititution t=sinx kommst du zum Ziel.
Beachte dann: dx [mm] =\bruch{1}{cosx}*dt
[/mm]
Du erhälst schließlich:
[mm] \integral {\bruch{(1+t)}{t} dt } [/mm] = [mm] \integral {\bruch{1}{t} + 1 dt }
[/mm]
Nun kannst du die Stammfunktion bilden und resubstituieren!
Was hast du nun raus?
Viele Grüße,
Dester
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Hallo Dester!
Was Du unter "Du erhältst schließlich:..." schreibst, hatte ich auch so raus.
Kleiner Rechenfehler war wohl bei mir drin.
Die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{t}+1 [/mm] ist ln t+t, oder?
Resubsitutieren ergibt ln (sin x)+sin x.
Liege ich jetzt richtiger?
Danke noch mal für die Hilfe!
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Hallo,
> Die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{t}+1[/mm] ist ln t+t, oder?
Ja.
> Resubsitutieren ergibt ln (sin x)+sin x.
>
> Liege ich jetzt richtiger?
Wenn Du das ableitest, bekommst Du [mm] \bruch{cosx+cosxsinx}{sinx}=\bruch{cosx(1+sinx)}{sinx}, [/mm] und das wolltest Du ja haben!
Gruß v. Angela
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Noch eine kleine Nachfrage zu 1=sin²x+cos²x
Gibt es einen solchen Satz auch für die Hyperbelfunktionen, also in etwa
1=sinh²x+cosh²x oder ähnlich?
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ja, du warst nah dran.
der zusammenhang lautet:
[mm] cosh^{2}(x) [/mm] - [mm] sinh^{2}(x) [/mm] = 1.
MFG
Robert
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