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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Di 09.08.2011 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral{(x^{4}-x^{3}-x-1)/(x^{3}-x^{2}) dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich habe eine Frage zu der obenstehenden Aufgabe, ich komme da einfach nicht weiter. Bis jetzt habe ich folgendes:
- ich klammere im Nenner [mm] x^{2} [/mm] aus
- Ich mache eine Polynomdivision weil der Exponent im Zähler grösser ist als der im Nenner:
[mm] (x^{4}-x^{3}-x-1) [/mm] : x-1 = [mm] x^{3}-1 [/mm]
- [mm] (x^{4}-x^{3})
[/mm]
-x-1
-(-x+1)
mit Rest -2
Dann schreibe ich das Ganze um:
[mm] \integral{((x^{3}-1)(x-1)-2)/(x^{2}(x-1)) dx}
[/mm]
= [mm] \integral{((x^{3}-1)(x-1))/(x^{2}(x-1)) dx} [/mm] - [mm] \integral{2/(x^{2}(x-1) dx}
[/mm]
= [mm] \integral{(x^{3}-1)/(x^{2}) dx} [/mm] - [mm] 2\integral{1(x^{2}(x-1) dx}
[/mm]
= [mm] \integral{x dx} [/mm] - [mm] \integral{1/x^{2} dx} [/mm] - [mm] \integral{2/x^{2}(x-1) dx}
[/mm]
Nun versuche ich, [mm] \integral{2/x^{2}(x-1) dx} [/mm] mit Hilfe der Partialbruchzerlegung zu zerteilen:
Leider klappt das irgendwie nicht, weil ich auch nicht sicher weiss, wie ich die Aufteilung mit A, B, C machen muss. Ich weiss ja, dass eine Nullstelle für x-1 bei 1 ist. Des Weiteren weiss ich, dass die Nullstelle von [mm] x^{2} [/mm] zweimal 0 ist, also mehrmals vorkommt.
Ich habe deshalb folgende Aufteilung gemacht:
[mm] \bruch{2}{(x^{2}(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x-1}
[/mm]
Stimmt das so, oder muss man die Aufteilung anders machen?
Vielen Dank im Voraus!
Liebe Grüsse,
Natascha
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Hallo natascha,
> Berechnen Sie folgendes Integral:
> [mm]\integral{(x^{4}-x^{3}-x-1)/(x^{3}-x^{2}) dx}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> Ich habe eine Frage zu der obenstehenden Aufgabe, ich komme
> da einfach nicht weiter. Bis jetzt habe ich folgendes:
> - ich klammere im Nenner [mm]x^{2}[/mm] aus
> - Ich mache eine Polynomdivision weil der Exponent im
> Zähler grösser ist als der im Nenner:
> [mm](x^{4}-x^{3}-x-1)[/mm] : x-1 = [mm]x^{3}-1[/mm]
> - [mm](x^{4}-x^{3})[/mm]
> -x-1
> -(-x+1)
> mit Rest -2
>
> Dann schreibe ich das Ganze um:
> [mm]\integral{((x^{3}-1)(x-1)-2)/(x^{2}(x-1)) dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral{((x^{3}-1)(x-1))/(x^{2}(x-1)) dx}[/mm] -
> [mm]\integral{2/(x^{2}(x-1) dx}[/mm]
> = [mm]\integral{(x^{3}-1)/(x^{2}) dx}[/mm]
> - [mm]2\integral{1(x^{2}(x-1) dx}[/mm]
> = [mm]\integral{x dx}[/mm] -
> [mm]\integral{1/x^{2} dx}[/mm] - [mm]\integral{2/x^{2}(x-1) dx}[/mm]
>
>
> Nun versuche ich, [mm]\integral{2/x^{2}(x-1) dx}[/mm] mit Hilfe der
> Partialbruchzerlegung zu zerteilen:
> Leider klappt das irgendwie nicht, weil ich auch nicht
> sicher weiss, wie ich die Aufteilung mit A, B, C machen
> muss. Ich weiss ja, dass eine Nullstelle für x-1 bei 1
> ist. Des Weiteren weiss ich, dass die Nullstelle von [mm]x^{2}[/mm]
> zweimal 0 ist, also mehrmals vorkommt.
> Ich habe deshalb folgende Aufteilung gemacht:
> [mm]\bruch{2}{(x^{2}(x-1)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x}[/mm] +
> [mm]\bruch{C}{x-1}[/mm]
>
> Stimmt das so, oder muss man die Aufteilung anders machen?
Das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielen Dank im Voraus!
> Liebe Grüsse,
> Natascha
>
Gruss
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