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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Do 14.03.2013 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | | [mm]Z.Z. \integral_{0}^{2\pi}{sin^{2n}xdx}=\frac{2\pi}{4^n}\vektor{2n \\ n}[/mm](*) |
Hallo,
das ist eine Aufgabe aus der Analysis 1 Klausur. Ich hab angefangen mit:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin^{2n}xdx}=\integral_{0}^{2\pi}{\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{2n}dx}=\left(-\frac{1}{4}\right)^n\integral_{0}^{2\pi}{(e^{ix}-e^{-ix})^{2n}dx}=(-\frac{1}{4})^n\integral_{0}^{2\pi}{\summe_{i=0}^{2n}\left(\vektor{2n \\ k}(exp(ix)^{2n-k})(-exp(-ix)^k)\right)dx}[/mm].
Es ist also zu zeigen:
[mm]\left(-\frac{1}{4}\right)^n\integral_{0}^{2\pi}{\summe_{i=0}^{2n}\left(\vektor{2n \\ k}(exp(ix)^{2n-k})(-exp(-ix)^k)\right)dx}=\frac{2\pi}{4^n}\vektor{2n \\ n}[/mm].
Induktion:
Anfang: [mm]n=0:\quad \integral_{0}^{2\pi}{\vektor{0\\ 0}(exp(ix)^0)(-exp(-ix)^0)dx}=2\pi[/mm]
Voraussetzung: Sei ein [mm]n\in\mathcal{N}[/mm], sodass (*) gilt.
Schritt: [mm]n \to n+1[/mm]. So und hier fängt glaub ich des Desaster an.
Ich tipp des jetz gar ned ab, weil ich überall n+1 eingesetzt hab, aber nicht weiter komm. Mein größtes Problem is, dass der Binomialkoeffizienten [mm]\vektor{2n+2 \\ k}[/mm] verhindert, dass ich die Voraussetzung verwenden kann. Sonst hätt ich den [mm]2n+1ten \text{und} 2n+2ten[/mm] Summanden abgespalten.
Danke für die Hilfe,
nBt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Fr 15.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Mit Induktion und partieller Integration zeige:
[mm] $\int\sin^n(x)d [/mm] x = [mm] \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)dx -\frac{1}{n}\cos(x)\sin^{n-1}(x),$ \quad n\geq [/mm] 2
FRED
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