Integration einer Halbellipse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Sa 08.03.2008 | | Autor: | inf2 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt der Halbellipse
[mm]f(x) = B * \wurzel{1- \bruch{x^2}{A^2}[/mm]
für A=2 und B=1.
Siehe Bild [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/179523,0.html , allerdings leider keine für mich verständliche Antwort erhalten, die zur Lösung führte.
Mein Ansatz:
Integrationsgrenzen der Halbellipse von [-a;a] habe ich durch 2*[0;a] ersetzt.
Die aus der Ausgangsgleichung bereits umgestellte Funktionsgleichung lautet dann:
[mm]A= 2* \integral_{0}^{a} \wurzel{1- \bruch{1}{4} *x^2} \, dx[/mm]
Eine Subsitution mit x= 2*cos(z) brachte mich irgendwie nicht zum Ergebnis.
Habe nun stattdessen erstmal die Ausgansgleichung f(x) folgendermaßen umgeformt:
[mm]f(x) = \bruch{B}{A} * \wurzel{A^2 - x^2} [/mm]
und für A=2 und B=1 eingesetzt
[mm]f(x) = \bruch{1}{2} * \wurzel{4 - x^2} [/mm]
Das heißt
[mm]A= 2* \integral_{0}^{a} \bruch{1}{2} * \wurzel{4 - x^2} \, dx[/mm]
Wie komme ich jetzt zur Lösung?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Das mit der Substitution hätte auch geklappt, du hättst dann z.B. [mm] \integral_{}^{}{cos²t dt} [/mm] berechnen müssen im Endeffekt.
Aber du kannst auch mit deiner letzten Zeile fortfahren. Du musst nur wissen, dass a=2 ist!
Berechne einfach mal die Nullstellen deiner Ellipse und du wirst sehen, dass sie mit [mm] \pm [/mm] A übereinstimmen (das gleiche gilt für die y-Achsenabschnitte und B).
Dann musst du auch noch wissen, dass [mm] \integral_{0}^{r}{\wurzel{r²-x²} dx} [/mm] der Flächeninhalt eines Viertelkreises mit dem Radius r ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 09.03.2008 | | Autor: | inf2 |
Vielen Dank für deine Antwort!!
Ich habe meine Rechnung mit der Substitution mal rangehängt. Das wurde mir allerdings zu umständlich.
Meine Frage:
Für a= 2 ergibt sich ja also für die Viertelellipse
[mm]A= \integral_{0}^{2} \wurzel{4 - x^2} \, dx[/mm]
Wie integriere ich jetzt die Wurzel?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo inf2,
> Vielen Dank für deine Antwort!!
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> Ich habe meine Rechnung mit der Substitution mal
> rangehängt. Das wurde mir allerdings zu umständlich.
>
> Meine Frage:
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> Für a= 2 ergibt sich ja also für die Viertelellipse
>
> [mm]A= \integral_{0}^{2} \wurzel{4 - x^2} \, dx[/mm]
>
> Wie integriere ich jetzt die Wurzel?
>
Überführe dieses Integral mit der Substitution [mm]x=2*\sin\left(t\right)[/mm] in eine einfachere Form.
Dabei ändern sich natürlich auch die Integrationsgenzen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 09.03.2008 | | Autor: | inf2 |
Ok. Die Substitution habe ich durchgeführt. Das Integral sieht nun wie folgt aus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie komme ich jetzt weiter?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo inf2,
> Ok. Die Substitution habe ich durchgeführt. Das Integral
> sieht nun wie folgt aus
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Wie komme ich jetzt weiter?
Die Integrationsgrenzen ändern sich infolge der Substitution auch:
[mm]2=2*sin\left(t\right) \Rightarrow t=\pi[/mm]
[mm]0=2*sin\left(t\right) \Rightarrow t=0[/mm]
So daß dann da steht:
[mm]A=\integral_{0}^{2}{\wurzel{4-x^{2}) dx}=\integral_{0}^{\pi}{\cos^{2}\left(t\right) dt}[/mm]
Dieses rechtsstehenden Integral kannst jetzt mit Hilfe der partiellen Integration berechnen
oder Du verwendest den trigonometrischen Pythagoras und ein Additionstheorem.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 09.03.2008 | | Autor: | inf2 |
Sehr schön.
2 Weitere Fragen:
1. Wieso ergibt
[mm]2=2*sin\left(t\right) \Rightarrow t=\pi[/mm] und nicht [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ?
(Mein Taschenrechner zeigt bei arcsin(1)~1,57 an...oder muss ich den Modus ändern?)
2. Ich wähle den Weg der partiellen Integration.
Wäre dann [mm]A= 4*{\integral_{0}^{\pi}{1* \cos^{2}\left(t\right) dt}[/mm] der richtige Ansatz? 1 würde ich als u' festlegen und integrieren, und cos²(t) als v dann ableiten?
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Hallo,
bei 1. hast du Recht die Grenze ist [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
bei 2.
setze
u'=cos(t) somit u=sin(t)
v=cos(t) somit v'=-sin(t)
[mm] \integral_{}^{}{cos(t)*cos(t) dt}=sin(t)*cos(t)+\integral_{}^{}{sin(t)*sin(t) dt}
[/mm]
jetzt plus [mm] \integral_{}^{}{cos(t)*cos(t) dt} [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung
[mm] 2\integral_{}^{}{cos(t)*cos(t) dt}=sin(t)*cos(t)+\integral_{}^{}{1 dt}
[/mm]
[mm] 2\integral_{}^{}{cos(t)*cos(t) dx}=sin(t)*cos(t)+t
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{cos(t)*cos(t) dx}=\bruch{sin(t)*cos(t)+t}{2}
[/mm]
mit Grenzen schreiben
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 09.03.2008 | | Autor: | inf2 |
SUPER!!!!
Das heißt, für den Flächeninhalt A der Halbellipse ergibt sich
[mm]A=\integral_{0}^{2}{\wurzel{4-x^{2}} dx=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos^{2}\left(t\right) dt} = \bruch{sin(t)*cos(t)+t}{2} [/mm]
Für die Grenzen [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und 0 eingesetzt erhalte ich im RAD Modus des Taschenrechners ~3,14159 = [mm]\pi[/mm] als Flächeninhalt für die Halbellipse, richtig?
Somit wäre der Flächeninhalt der gesamten Ellipse A= [mm]2*\pi[/mm], wenn ich mich nicht irre, oder muss ich jetzt aufgrund der Änderung der Integrationsgrenzen noch irgendwas wieder rücksubstituieren?
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Hallo, Glückwunsch [mm] A=2\pi [/mm] ist die Lösung , Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 So 09.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe dir doch den Hinweis mit dem Kreis gegeben!
Das Integral ist dann die Maßzahl der Fläche eines Viertelkreises mit dem Radius r=2, also [mm] \pi [/mm] !
[mm] y=\wurzel{4-x²} [/mm] ist ja nur eine umgestellt Kreisgleichung
(x²+y²=4)!
[mm] \wurzel{4-x²} [/mm] beschreibt den oberen Halbkreis, von dem du durch die Grenzen 0 und 2 auch nur den halben Flächeninhalt bestimmst.
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