Integration einer Ellipse < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a,b > 0. Berechne durch Integration den Inhalt der Ellipse E(a,b). |
Heißt dass, wenn ich E:= {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] \bruch{x^2}{a^2} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{b^2} [/mm] =1 } gegeben habe, dass ich darauf die Integral anwenden muss?
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Hallo Sternchen,
Ich glaube, du sollst den Flächeninhalt der Ellipse bestimmen, d.h. den Inhalt der Fläche [mm] $E:=\{(x,y)\in\IR^2:\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}\le1\}$.
[/mm]
Dazu musst du in zwei Richtungen, nämlich nach x und y, integrieren und dir überlegen, wo deine Integrationsgrenzen liegen.
Hugo
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Also muss ich [mm] \integral_{e}^{d} [/mm] { [mm] \bruch{x^2}{a^2}+ \bruch{y^2}{b^2} [/mm] dx} rechnen. Aber was mache ich mit der 1?
Und woher weiß ich, was meine Integrationsgrenzen sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Fr 27.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sternchen
Wenn du noch keine 2d Integrale hattest, was ich aus deiner Antwort schließe, dann schreib die ellipse um nach y=...., Integriere die Funktion von -a bis +a , dann hast du die halbe Fläche, odervon 0 bis a dann hast du 1/4 der Fläche.
Wenn dus 2 dimensional machen sollst, frag noch mal und sag was du darüber weisst.
Gruss leduart.
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Integration im 2-dimensionalen hatten wir schon, ist ja auch nicht so schwer.Erst nur x betrachten, dann nur y. Ich wollte nur wissen, was genau die Integrationsgrenzen sind und was mit der 1 passiert?
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Hallo Sternchen,
man berechnet bei dieser Augabe aus der Bestimmungsgleichung der Ellipse die Integrationsgrenzen. Wenn wir zuerst nach y integrieren wollen, dann müssen wir die Abhängigkeit der y-Grenzen von x brücksichtigen, die anschließende Integration nach x verläuft vom minimal bis zum maximal auftretenden x-Wert.
Wir stellen nun die Gleichung
[mm] $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1$
[/mm]
nach y um und erhalten
[mm] $y^2\le b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$ [/mm] bzw.
[mm] $|y|\le b\cdot\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$
[/mm]
x kann Werte zwischen -a und +a annehmen. Also erhalten wir als Integral
[mm] $\int_{-a}^{+a}\left(\int_{-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} dy\right)dx$
[/mm]
Aufgrund der Symmetrie kannst du dieses Integral durch
[mm] $4\cdot\int_{0}^{a}\left(\int_{0}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} dy\right)dx$
[/mm]
ersetzen.
Hugo
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Soweit habe ich deinen Ansatz erstmal verstanden, vielen Dank. Hab auch nur eine ganz kleine Rückfrage.
$ [mm] 4\cdot\int_{0}^{a}\left(\int_{0}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} dy\right)dx [/mm] $
Heißt das, cih muss die 1 integrieren?
$ [mm] 4\cdot\int_{0}^{a}\left(\int_{0}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} 1 dy\right)dx [/mm] $
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Hallo Sternchen,
das ist richtig, du integrierst eine 1. Es handelt sich hier aber nicht um die 1 aus der Ellipsengleichung.
Hugo
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Hi, ich bin's dochnochmal!
Wollte die Aufgabe gerade ordentlich aufschreiben, da bin ich auf ein erneutes Probllem gestoßen.
Ich bin inzwischen über die erste Integration hinweg und wollte gerade die zweite auflösen, als ich folgendes Problem hatte:
4* [mm] \integral_{-a}^{a}{b* \wurzel{1- \bruch{x^2}{a^2}}*y dx}
[/mm]
Aber wi soll ich das denn nach x integrieren. Hab es mit Maple versucht, aber da kommt eine ziemlich lange und komplizierte Funktion heraus. Denke nicht, dass es die richtige ist.
Sorry, für die nochmalige Nachfrage!
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Hallo Sternchen,
hast du es in Maple mal mit dem Befehl simplify versucht? 
Unabhängig davon findest du in einer anständigen Integraltafel den Zusammenhang
[mm] $\int\sqrt{a^2-x^2}$ [/mm] = [mm] $\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin(\frac{x}{a})\right)$.
[/mm]
Das kannst du ausnutzen, wenn du [mm] $\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$ [/mm] in [mm] $\frac{1}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ [/mm] umwandelst.
Hugo
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