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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:11 So 05.02.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Also ich habe folgende Funktionen, die eine Fläche einschließen:
f(x) = (exp x - t)*(exp x - t)
g(x) = t*t
a) Welchem Wert nähert sich das Flächenmaß bzw. die Stammfunktion?
b) bestimme die Umkehrfunktion von f.
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Stimmt das? Was muss ich ggf. tun / anders machen?
zu a)
a1) Schnittpunkt von f und g:
f(x) = g(x)
exp 2x - 2t exp x + t*t = t*t
exp x (exp x - 2t) = 0
exp x - 2t = 0
x = ln t
a2) Stammfunktion
G(x) = t*t*x
F(x) = 1/2 * exp 2x - 2t * exp x + t*t*x
Integral von (minus unendlich) bis (ln 2t)
G(x) - F(x)
(- 1/2 * exp 2x - 2t * exp x) = exp x (- 1/2 exp x + 2t)
(exp (ln 2t) * (- 1/2 exp (ln 2t) + 2t) = 2t * (-t + 2t) = 2 t*t
zu b)
Umkehrfunktion zu y = exp x ist x = ln y
y = exp 2x - 2t exp x + t*t
Vertausche ich jetzt x und y oder später?
ln y = ln (exp 2x) - 2t ln (exp x) + ln (2t) Ist das korrekt?
ln y = 2x - 2t*x + ln (2t)
ln y - ln (2t) = 2x - 2t*x
(ln y - ln (2t)) /2 = x - t*x
(ln y - ln (2t)) /2 = x (1 -t)
x = (ln y - ln (2t)) / (2-2t)
Jetzt x und y vertauschen?
y = (ln x - ln (2t)) / (2-2t)
Viele Grüße!
wolfgang
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Hi, hase,
> Also ich habe folgende Funktionen, die eine Fläche
> einschließen:
>
> f(x) = (exp x - t)*(exp x - t)
> g(x) = t*t
Ist das so gemeint: f(x) = [mm] (e^{x} [/mm] - [mm] t)^{2}; [/mm] g(x) = [mm] t^{2} [/mm] ?
Ist g(x) also konstant, hängt NICHT von x ab?!
> a) Welchem Wert nähert sich das Flächenmaß bzw. die
> Stammfunktion?
Das sind aber 2 Paar Stiefel!
Die "Stammfunktion" ist eine Menge von Funktionen. Die kann sich schlecht "einem Wert nähern".
Das Flächenmaß schon eher, aber auch da muss gesagt werden, welche Annäherung gemeint ist, z.B. t [mm] \to [/mm] 0 oder t [mm] \to \infty [/mm] oder gar t [mm] \to -\infty!
[/mm]
> b) bestimme die Umkehrfunktion von f.
> zu a)
>
> a1) Schnittpunkt von f und g:
>
> f(x) = g(x)
>
> exp 2x - 2t exp x + t*t = t*t
>
> exp x (exp x - 2t) = 0
>
> exp x - 2t = 0
>
> x = ln t
Richtig bis auf: x = ln(2t). (Tippfehler?)
Und außerdem: Nur für t > 0.
Ich nehme aber an, dass dies vorgegeben ist, sonst würde sich die Rechnung an einigen Stellen stark erschweren!
> a2) Stammfunktion
>
> G(x) = t*t*x
>
> F(x) = 1/2 * exp 2x - 2t * exp x + t*t*x
Warum schreibst Du nicht [mm] t^{2} [/mm] ?
> Integral von (minus unendlich) bis (ln 2t)
>
> G(x) - F(x)
>
> (- 1/2 * exp 2x - 2t * exp x) = exp x (- 1/2 exp x + 2t)
In der linken Klammer "+" statt "-"; in der rechten OK!
Obergrenze ln(2t) eingesetzt:
> (exp (ln 2t) * (- 1/2 exp (ln 2t) + 2t) = 2t * (-t + 2t) =
> 2 t*t
Richtig! Fehlt aber noch die Untergrenze!
Und da es sich um ein "uneigentliches Integral" handelt, musst Du die Untegrenze z.B. a nennen und anschließend a [mm] \to -\infty [/mm] gehen lassen. Jetzt ist auch klar, was mit der Frage nach dem Wert, dem sich die Fläche nähert, gemeint ist!
Fläche A = [mm] 2t^{2} [/mm] - [mm] \limes_{a \rightarrow -\infty} e^{a}*(-0,5*e^{a}+2t)
[/mm]
Und da [mm] \limes_{a \rightarrow -\infty} e^{a} [/mm] = 0 ist, geht der Wert der Flächenmaßzahl tatsächlich gegen [mm] 2t^{2}.
[/mm]
> zu b)
>
> Umkehrfunktion zu y = exp x ist x = ln y
Aber: Definitionsmenge und Wertemenge nicht vergessen!
> y = exp 2x - 2t exp x + t*t
>
> Vertausche ich jetzt x und y oder später?
Das ist egal! Ich mach's immer gleich!
Wichtiger ist: Du kannst die Umkehrfunktion NICHT auf ganz [mm] \IR [/mm] bestimmen, da die Funktion nicht überall echt monoton ist!!!
So ist sie echt mon. abnehmend in ]-infty ; ln(t)],
aber echt mon. zunehmend in [ln(t) ; [mm] +\infty [/mm] [ !
> ln y = ln (exp 2x) - 2t ln (exp x) + ln (2t) Ist das
> korrekt?
Nein!
Der ln einer Summe ist NICHT die Summe der logarithmierten Summanden!
Also nochmal:
y = [mm] (e^{x} [/mm] - [mm] t)^{2} [/mm]
Ich entscheide mich für: x [mm] \in [/mm] [ln(t) ; [mm] +\infty [/mm] [ , y [mm] \ge [/mm] 0
(Aber auch dies ist normalerweise vorgegeben!)
Nun vertausche ich x und y:
x = [mm] (e^{y} [/mm] - [mm] t)^{2} [/mm] mit y [mm] \ge [/mm] ln(t) ; x [mm] \ge [/mm] 0
Wurzel ziehen:
[mm] \wurzel{x} [/mm] = [mm] (e^{y} [/mm] - t) (da y [mm] \ge [/mm] ln(t); sonst: Minusvorzeichen!)
[mm] e^{y} [/mm] = [mm] \wurzel{x} [/mm] + t
y = [mm] ln(\wurzel{x} [/mm] + t) (x [mm] \ge [/mm] 0; t > 0)
mfG!
Zwerglein
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