Integration durch Transform. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne [mm] \integral_{F}^{}{}\omega_F [/mm]
[mm] F=\{(x,y,z)\in\IR^3| x^2+y^2-2z=0 ; z\le 2\}
[/mm]
X(x,y,z)=(3y, -xz, [mm] yz^2)^t [/mm] |
Guten Abend zusammen. Ich wollte mal einen anderen Weg als den aus der Musterlösung ausprobieren. Dazu habe ich diese Parametrisierung von F gewählt:
[mm] \Psi: \overline K_4(0) \subset \IR^3\to [/mm] F also [mm] \overline K_4(0) [/mm] die Kreisscheibe mit Radius 4 um den Punkt (0,0,0) in der x -y- Ebene.
[mm] \Psi(x,y)=(x, [/mm] y, [mm] \bruch{x^2+y^2}{2}) [/mm]
Ich möchte hier nicht Stokes anwenden, sondern so wie in der Aufgabenstellung das Integral lösen. Ich habe da nämlich eine Frage...
Also hier mal das was man einsetzt
[mm] rot(X)=\vektor{z^2+x \\ 0 \\ -z-3}
[/mm]
[mm] \omega_F=\wurzel{1+x^2+y^2}dx\wedge [/mm] dy Volumenelement
[mm] v(x,y)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2+y^2}}\vektor{-x \\ -y \\1}
[/mm]
dann kommt raus
[mm] \integral_{F}^{}{}\omega_F=\integral_{\overline K_4(0)}^{}-z^2x-x^2-z-3dx [/mm] dy
Jetzt die Frage:
Um das Integral auf der rechten Seite zu lösen habe ich zuerst ohne groß nachzudenken eine Koordinatentransformation gemacht und zwar mithilfe der Abbildung:
[mm] \Phi: (0,2\pi)\times[0,2]\to \overline K_4(0)
[/mm]
[mm] \Phi(s,r)=(r*cos(s), [/mm] r*sin(s), 0)
dann wird das Integral zu
[mm] \integral_{\overline K_4(0)}^{}-z^2x-x^2-z-3dx dy=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}-r^3cos(s)^2-3r [/mm] dr ds
Darf man das überhaupt?
Der Transformationssatz ist das ja hier nicht. War das nicht das sogenannte Zurückziehen (pullback)? Darf man das beim Integrieren auch machen? Ich möchte das nur irgendwie rechtfertigen was ich da gemacht habe, falls es nicht falsch ist.
Viele Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Do 21.02.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechne [mm]\integral_{F}^{}{}\omega_F[/mm]
>
> [mm]F=\{(x,y,z)\in\IR^3| x^2+y^2-2z=0 ; z\le 2\}[/mm]
>
> X(x,y,z)=(3y, -xz, [mm]yz^2)^t[/mm]
> Guten Abend zusammen. Ich wollte mal einen anderen Weg als
> den aus der Musterlösung ausprobieren. Dazu habe ich diese
> Parametrisierung von F gewählt:
>
> [mm]\Psi: \overline K_4(0) \subset \IR^3\to[/mm] F also [mm]\overline K_4(0)[/mm]
> die Kreisscheibe mit Radius 4 um den Punkt (0,0,0) in der x
> -y- Ebene.
in der x-y-Ebene gibt es keine Fläche mehr. Die Fläche ist ein 'auf dem Kopf' stehender Paraboloid mit Spitze im Koordinatenursprung. Der Radius ist an der größten Stelle (bei z=2) 2, nicht 4.
>
> [mm]\Psi(x,y)=(x,[/mm] y, [mm]\bruch{x^2+y^2}{2})[/mm]
Das ist keine Parametrisierung der Fläche.
>
> Ich möchte hier nicht Stokes anwenden, sondern so wie in
> der Aufgabenstellung das Integral lösen. Ich habe da
> nämlich eine Frage...
>
> Also hier mal das was man einsetzt
>
> [mm]rot(X)=\vektor{z^2+x \\ 0 \\ -z-3}[/mm]
Das habe ich nicht nachgerechnet.
>
> [mm]\omega_F=\wurzel{1+x^2+y^2}dx\wedge[/mm] dy Volumenelement
Es ist hier kein Volumenelement zu berechnen, da kein Volumenintegral auftaucht. Davon abgesehen ist das kein Volumenelement und das Volumenelement in kartesischen Koordinaten ist: [mm] $\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ [/mm] und das Flächenelement entsprechend [mm] $\mathrm{d}F=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
[/mm]
>
> [mm]v(x,y)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2+y^2}}\vektor{-x \\ -y \\1}[/mm]
>
> dann kommt raus
>
> [mm]\integral_{F}^{}{}\omega_F=\integral_{\overline K_4(0)}^{}-z^2x-x^2-z-3dx[/mm]
> dy
>
>
> Jetzt die Frage:
>
> Um das Integral auf der rechten Seite zu lösen habe ich
> zuerst ohne groß nachzudenken eine
> Koordinatentransformation gemacht und zwar mithilfe der
> Abbildung:
>
> [mm]\Phi: (0,2\pi)\times[0,2]\to \overline K_4(0)[/mm]
>
> [mm]\Phi(s,r)=(r*cos(s),[/mm] r*sin(s), 0)
>
> dann wird das Integral zu
>
> [mm]\integral_{\overline K_4(0)}^{}-z^2x-x^2-z-3dx dy=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}-r^3cos(s)^2-3r[/mm]
> dr ds
>
>
> Darf man das überhaupt?
>
> Der Transformationssatz ist das ja hier nicht. War das
> nicht das sogenannte Zurückziehen (pullback)? Darf man das
> beim Integrieren auch machen? Ich möchte das nur irgendwie
> rechtfertigen was ich da gemacht habe, falls es nicht
> falsch ist.
>
> Viele Grüße, kulli
Da anfangs schon so viel falsch ist, gehe ich davon aus, dass der Rest nicht richtiger ist. Ich empfehle Dir, das mittels Satz von Stokes zu berechnen, das ist wesentlich einfacher. Falls Du es unbedingt ohne machen willst, denk daran, dass die Oberfläche aus Mantel- und Parabolfläche besteht.
Gruß,
notinX
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> Hallo,
Hi
> > Berechne [mm]\integral_{F}^{}{}\omega_F[/mm]
> >
> > [mm]F=\{(x,y,z)\in\IR^3| x^2+y^2-2z=0 ; z\le 2\}[/mm]
> >
> > X(x,y,z)=(3y, -xz, [mm]yz^2)^t[/mm]
> > Guten Abend zusammen. Ich wollte mal einen anderen Weg
> als
> > den aus der Musterlösung ausprobieren. Dazu habe ich diese
> > Parametrisierung von F gewählt:
> >
> > [mm]\Psi: \overline K_4(0) \subset \IR^3\to[/mm] F also [mm]\overline K_4(0)[/mm]
> > die Kreisscheibe mit Radius 4 um den Punkt (0,0,0) in der x
> > -y- Ebene.
>
> in der x-y-Ebene gibt es keine Fläche mehr. Die Fläche
> ist ein 'auf dem Kopf' stehender Paraboloid mit Spitze im
> Koordinatenursprung. Der Radius ist an der größten Stelle
> (bei z=2) 2, nicht 4.
[mm] \overline B_4(0) [/mm] hat ja auch nichts mit F zu tun. Das ist doch nur die Menge von der aus [mm] \Psi [/mm] abbildet. Und das Bild von [mm] \Psi [/mm] ist doch sehr wohl F?! Denn für alle (x,y) aus [mm] B_4(0) [/mm] gilt [mm] x^2+y^2\le [/mm] 4 . Wegen [mm] x^2+y^2-2z=0 [/mm] ist das doch dann erfüllt?
> >
> > [mm]\Psi(x,y)=(x,[/mm] y, [mm]\bruch{x^2+y^2}{2})[/mm]
>
> Das ist keine Parametrisierung der Fläche.
Und wieso nicht? F wird doch als Graph von [mm] \Psi [/mm] parametrisiert.
> >
> > Ich möchte hier nicht Stokes anwenden, sondern so wie in
> > der Aufgabenstellung das Integral lösen. Ich habe da
> > nämlich eine Frage...
> >
> > Also hier mal das was man einsetzt
> >
> > [mm]rot(X)=\vektor{z^2+x \\ 0 \\ -z-3}[/mm]
>
> Das habe ich nicht nachgerechnet.
>
> >
> > [mm]\omega_F=\wurzel{1+x^2+y^2}dx\wedge[/mm] dy Volumenelement
>
> Es ist hier kein Volumenelement zu berechnen, da kein
> Volumenintegral auftaucht. Davon abgesehen ist das kein
> Volumenelement und das Volumenelement in kartesischen
> Koordinaten ist:
> [mm]\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z[/mm] und das
> Flächenelement entsprechend
> [mm]\mathrm{d}F=\mathrm{d}x\mathrm{d}y[/mm]
Also das mag ich jetzt mal stark anzweifeln! Ich gehe mal davon aus, dass ihr vielleicht eine andere Notation hattet? Selbst bei wiki bei dem Punkt "klassischer Integralsatz von Stokes" unter "Aussage" steht dass dort die Volumenform der 2-dimensionalen Fläche verwendet wird. Auch mein Professor hat es so in einem Beispiel vorgerechnet... Abgesehen davon funktioniert es ja auch so.
Würde mich nochmal über eine Rückmeldung freuen. Vielleicht liegen auch nur Missverständnisse vor, aber so würde ich das ungern stehen lassen. Das stellt bei mir alles auf den Kopf.
Grüße, kulli
> >
> > [mm]v(x,y)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2+y^2}}\vektor{-x \\ -y \\1}[/mm]
>
> >
> > dann kommt raus
> >
> > [mm]\integral_{F}^{}{}\omega_F=\integral_{\overline K_4(0)}^{}-z^2x-x^2-z-3dx[/mm]
> > dy
> >
> >
> > Jetzt die Frage:
> >
> > Um das Integral auf der rechten Seite zu lösen habe ich
> > zuerst ohne groß nachzudenken eine
> > Koordinatentransformation gemacht und zwar mithilfe der
> > Abbildung:
> >
> > [mm]\Phi: (0,2\pi)\times[0,2]\to \overline K_4(0)[/mm]
> >
> > [mm]\Phi(s,r)=(r*cos(s),[/mm] r*sin(s), 0)
> >
> > dann wird das Integral zu
> >
> > [mm]\integral_{\overline K_4(0)}^{}-z^2x-x^2-z-3dx dy=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}-r^3cos(s)^2-3r[/mm]
> > dr ds
> >
> >
> > Darf man das überhaupt?
> >
> > Der Transformationssatz ist das ja hier nicht. War das
> > nicht das sogenannte Zurückziehen (pullback)? Darf man das
> > beim Integrieren auch machen? Ich möchte das nur irgendwie
> > rechtfertigen was ich da gemacht habe, falls es nicht
> > falsch ist.
> >
> > Viele Grüße, kulli
>
> Da anfangs schon so viel falsch ist, gehe ich davon aus,
> dass der Rest nicht richtiger ist. Ich empfehle Dir, das
> mittels Satz von Stokes zu berechnen, das ist wesentlich
> einfacher. Falls Du es unbedingt ohne machen willst, denk
> daran, dass die Oberfläche aus Mantel- und Parabolfläche
> besteht.
>
> Gruß,
>
> notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 23.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo, ich habe nochmal drüber geschaut. Die Parametrisierung [mm] \Psi [/mm] sollte richtig sein, bis auf den Definitionsbereich, da habe ich mich vertan. Richtig ist:
[mm] \Psi: \overline K_2(0) \subset \IR^3\to [/mm] F also [mm] \overline K_2(0)
[/mm]
die Kreisscheibe mit Radius 2 (nicht 4) um den Punkt (0,0,0) in der x -y- Ebene.
alles andere sollte aber richtig sein, ich bekomme auch das richtige Ergebnis raus:
[mm] \integral_{\overline K_2(0)}^{}-z^2x-x^2-z-3dx dy=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}-r^3cos(s)^2-3r [/mm] dr [mm] ds=-20*\pi
[/mm]
Dabei habe ich diese Abbildung benutzt [mm] \Phi: (0,2\pi)\times[0,2]\to \overline K_2(0) [/mm]
[mm] \Phi(s,r)=(r*cos(s), [/mm] r*sin(s), 0)
und die Differentialform [mm] -z^2x-x^2-z-3dx\wedge [/mm] dy von [mm] \overline K_2(0) [/mm] auf [mm] (0,2\pi)\times [/mm] (0,2) zurückgeholt.
Aber ich verstehe den Unterschied nicht. Ist das nun der Transformationssatz für eine 2- Form, oder das Zurückholen (Pullback)?
Grüße, kulli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 25.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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