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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 So 22.12.2013 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechne das Integral
[mm] \integral_{0}^{ln {2}}{\wurzel{e^x -1} dx} [/mm] |
Moin!
[mm] \integral_{0}^{ln(2)}{\wurzel{e^x -1} dx}
[/mm]
Hier würde ich zunächst u = [mm] e^x [/mm] - 1 substituieren; dies scheint aber nicht zum Erfolg zu führen.
u ' = [mm] e^x [/mm] => [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] e^x [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] du = dx
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{e^x}*u du}
[/mm]
Also muss man wohl u = [mm] \wurzel{e^x -1} [/mm] substituieren?!?
u ' = [mm] \bruch{1}{2}*(e^x-1)^{- \bruch{1}{2}}
[/mm]
u ' = [mm] \bruch{1}{2u} \bruch{du}{dx}= \bruch{1}{2u}
[/mm]
dx = 2u du
???
[mm] \integral_{0}^{1}{2*u*u du}
[/mm]
Hier steht aber in der Musterlösung
[mm] 2*\integral_{0}^{1}{\bruch{u^2}{1+u^2} du}
[/mm]
Wie kommt man darauf???
Danke für eure Hilfe!
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Hallo hase-hh,
> Berechne das Integral
> [mm]\integral_{0}^{ln {2}}{\wurzel{e^x -1} dx}[/mm]
> Moin!
>
> [mm]\integral_{0}^{ln(2)}{\wurzel{e^x -1} dx}[/mm]
>
>
> Hier würde ich zunächst u = [mm]e^x[/mm] - 1 substituieren; dies
> scheint aber nicht zum Erfolg zu führen.
>
> u ' = [mm]e^x[/mm] => [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]e^x[/mm] dx =
> [mm]\bruch{1}{e^x}[/mm] du = dx
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{e^x}*u du}[/mm]
>
>
> Also muss man wohl u = [mm]\wurzel{e^x -1}[/mm] substituieren?!?
>
>
> u ' = [mm]\bruch{1}{2}*(e^x-1)^{- \bruch{1}{2}}[/mm]
>
Hier fehlt die innere Ableitung.
[mm]u'=\bruch{1}{2}*(e^x-1)^{- \bruch{1}{2}}*\red{e^{x}}[/mm]
> u ' = [mm]\bruch{1}{2u} \bruch{du}{dx}= \bruch{1}{2u}[/mm]
>
> dx = 2u du
>
> ???
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{2*u*u du}[/mm]
>
> Hier steht aber in der Musterlösung
>
> [mm]2*\integral_{0}^{1}{\bruch{u^2}{1+u^2} du}[/mm]
>
>
> Wie kommt man darauf???
>
Die gewählte Substitution ist die richtige.
Nur die Ableitung dieser Substitution stimmt nicht.
>
>
> Danke für eure Hilfe!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 22.12.2013 | | Autor: | hase-hh |
Also...
ich substituiere
u = [mm]\wurzel{e^x -1}[/mm]
u ' = [mm]\bruch{1}{2}*(e^x-1)^{- \bruch{1}{2}}*e^x[/mm]
u ' = [mm] \bruch{e^x}{2u} [/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}= \bruch{e^x}{2u}
[/mm]
dx = [mm] \bruch{2u}{e^x} [/mm] du
Achso, und jetzt könnte man u nach [mm] e^x [/mm] auflösen und für [mm] e^x [/mm] einsetzen...
[mm] u^2 [/mm] = [mm] e^x [/mm] - 1 => [mm] e^x [/mm] = [mm] u^2 [/mm] +1
s. Musterlösung
[mm]2*\integral_{0}^{1}{\bruch{u^2}{u^2+1} du}[/mm]
soweit, so gut.
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Hallo hase-hh,
> Also...
>
> ich substituiere
>
> u = [mm]\wurzel{e^x -1}[/mm]
>
> u ' = [mm]\bruch{1}{2}*(e^x-1)^{- \bruch{1}{2}}*e^x[/mm]
>
> u ' = [mm]\bruch{e^x}{2u}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}= \bruch{e^x}{2u}[/mm]
>
> dx = [mm]\bruch{2u}{e^x}[/mm] du
>
>
> Achso, und jetzt könnte man u nach [mm]e^x[/mm] auflösen und für
> [mm]e^x[/mm] einsetzen...
>
>
> [mm]u^2[/mm] = [mm]e^x[/mm] - 1 => [mm]e^x[/mm] = [mm]u^2[/mm] +1
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> s. Musterlösung
>
> [mm]2*\integral_{0}^{1}{\bruch{u^2}{u^2+1} du}[/mm]
>
>
> soweit, so gut.
>
Gruss
MathePower
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