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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Integrale mit Hilfe einer Substitution:
[mm] \integral_{}^{}{x/\wurzel[]{a^2-x^2} dx} [/mm] |
Moin Mathe-Community.
[mm] \integral_{}^{}{x/\wurzel[]{a^2-x^2} dx} [/mm] soll mithilfe einer Substiution gelöst werden.
Nun habe ich erstmal substituiert z= [mm] a^2-x^2 [/mm] dz/dx = 2a-2x dx= dz/2a-2x
Nun habe ich:
[mm] \integral_{}^{}{x/\wurzel[]{a^2-x^2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x/\wurzel z * dz/ 2a-2x }
[/mm]
Nun weiß ich einfach nicht weiter kann man eventuell das x bei -2x mit dem X im Nenner wegkürzen? Man möchte ja das dz alleine stehen haben, aber ich sehe ein Problem darin 2a als Konstanten-Faktor vor das Integral zu ziehen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Do 05.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Lösen Sie folgende Integrale mit Hilfe einer Substitution:
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> [mm]\integral_{}^{}{x/\wurzel[]{a^2-x^2} dx}[/mm]
> Moin
> Mathe-Community.
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> [mm]\integral_{}^{}{x/\wurzel[]{a^2-x^2} dx}[/mm] soll mithilfe
> einer Substiution gelöst werden.
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> Nun habe ich erstmal substituiert z= [mm]a^2-x^2[/mm] dz/dx =
> 2a-2x dx= dz/2a-2x
Hallo,
wenn du nach x ableitest, dann ist [mm] a^2 [/mm] eine Konstante, die beim Ableiten restlos zu Null wird.
Richtig wäre also dz/dx=0-2x.
Gruß Abakus
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> Nun habe ich:
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> [mm]\integral_{}^{}{x/\wurzel[]{a^2-x^2} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{x/\wurzel z * dz/ 2a-2x }[/mm]
>
> Nun weiß ich einfach nicht weiter kann man eventuell das x
> bei -2x mit dem X im Nenner wegkürzen? Man möchte ja das
> dz alleine stehen haben, aber ich sehe ein Problem darin 2a
> als Konstanten-Faktor vor das Integral zu ziehen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo danke für deine Antwort das hat mir wirklich geholfen!
Hätte dann noch eine letzte Frage. Ich kam auf das richtige Ergebnis aber ich möchte nochmal lieber nachfragen!
Also habe dann ja [mm] \integral_{}^{}{x/\wurzel[]{a^2-x^2} dx}
[/mm]
z = [mm] a^2-x^2 [/mm] dz/dx = 0,2x dx= dz/-2x
= [mm] \integral_{}^{}{x/\wurzel[]{}z * dz/-2x } [/mm] nun habe ich den X wert im Zähler mit dem X aus -2x gekürzt also habe ich nur noch
[mm] \integral_{}^{}{1/\wurzel[]{}z * dz/-2 } [/mm] nun hole ich die -2 mit dem Kehrwert nach vorne als Konstanten Faktor.
-1/2 [mm] \integral_{}^{}{1/\wurzel[]{}z * dz } [/mm]
= -1/2 [mm] \integral_{}^{}{l[]{} (z hoch -0,5 * dz } [/mm]
= -1/2 * [mm] (2-z)^1/2 [/mm] = - 1/2 * 2 * [mm] \wurzel[]{z} [/mm] + C
= -1* [mm] \wurzel[]{z} [/mm] + C Rücksubstitution
= -1* [mm] \wurzel[]{a^2-x^2} [/mm] + C
= - [mm] \wurzel[]{a^2-x^2} [/mm] + C
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Fr 06.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo danke für deine Antwort das hat mir wirklich
> geholfen!
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> Hätte dann noch eine letzte Frage. Ich kam auf das
> richtige Ergebnis aber ich möchte nochmal lieber
> nachfragen!
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> Also habe dann ja [mm]\integral_{}^{}{x/\wurzel[]{a^2-x^2} dx}[/mm]
>
> z = [mm]a^2-x^2[/mm] dz/dx = 0,2x dx= dz/-2x
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> = [mm]\integral_{}^{}{x/\wurzel[]{}z * dz/-2x }[/mm] nun habe ich
> den X wert im Zähler mit dem X aus -2x gekürzt also habe
> ich nur noch
>
> [mm]\integral_{}^{}{1/\wurzel[]{}z * dz/-2 }[/mm]
Du bekommst also in der Tat
[mm] \int-\frac{1}{2\cdot\sqrt{z}}dz
[/mm]
Lasse nun aber die 2 im Nenner stehen, denn
[mm] G(x)=\sqrt{x} [/mm] ist eine Stammfunktion zu [mm] \frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}
[/mm]
Also
[mm] \int-\frac{1}{2\cdot\sqrt{z}}dz=-\sqrt{z}
[/mm]
Rücksubstitution fürht dann in der Tat zu
[mm] \int\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C
[/mm]
Marius
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