Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Guten Morgen.
Ich habe ein Problem bei dem Berechnen eines Integrals mit Hilfe der Substitution. Genauer gesagt, ist wohl die Stammfunktion das Problem!
[mm] \integral_{0}^{1} {x^2*e^{x*x*x+1}} [/mm] dx = [mm] \integral_{0}^{1} {x^2*e^{x^3+1}} [/mm] dx
Nun definiere ich als Substitution g(x) = [mm] x^3+1
[/mm]
Meine Annahme: es heißt, [mm] e^{(x^3+1)^{1}} [/mm] , daher ist [mm] z^1 [/mm] zu integrieren.
[mm] \integral_{g(0)}^{g(1)} {z^{1}} [/mm] dz = [mm] \integral_{2}^{1} [/mm] z dz = [ [mm] \bruch{1}{2}z^{2}]^{2}_{1} [/mm] = 2- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}.
[/mm]
Ist meine Annahme und mein weiterer Lösungsweg richtig?
Grüße Johann.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Phoney!
> [mm]\integral_{0}^{1} {x^2*e^{x*x*x+1}}[/mm] dx = [mm]\integral_{0}^{1} {x^2*e^{x^3+1}}[/mm] dx
> Nun definiere ich als Substitution g(x) = [mm]x^3+1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr gut!
Ich nenne es mal [mm] $\red{z} [/mm] \ := \ [mm] x^3+1$ [/mm] mit $z(0) \ = \ 1$ sowie $z(1) \ = \ 2$
Nun müssen wir doch noch das $dx_$ umwandeln in ein $dz_$ ...
$z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] 3x^2$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{3x^2}$
[/mm]
Dies setzen wir nun ein in unser Integral:
[mm] $\integral_{0}^{1}{x^2 * e^{\red{x^3+1}} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{1}^{2}{x^2 * e^{\red{z}} \ \blue{\bruch{dz}{3x^2}}}$
[/mm]
Nun kürzen wir und ziehen den Bruch [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] vor das Integral:
$... \ = \ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{2}{\blue{1} * e^{z} \ \bruch{dz}{\blue{1}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{2}{e^{z} \ dz}$
[/mm]
Schaffst Du den Rest nun alleine?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo Loddar. Vielen Dank für diese schöne Erklärung, bei der das Prinzip der Integration durch Substitution wunderbar herübergekommen ist.
> Schaffst Du den Rest nun alleine?
Ja, den habe ich geschafft.
Für die Nachwelt:
[mm] $\bruch{1}{3} \cdot{} \integral_{1}^{2}{e^{z} \ dz} [/mm] $
= [mm] \bruch{1}{3}\cdot{} [e^{z}]^{2}_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}(e^{2}-e^{1}) [/mm] = 1,5569
Viele Grüße Johann.
|
|
|
|
