Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mi 17.04.2013 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bilden Sie folgende Integrale mithilfe einer geeigneten Substitution:
1) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1 - 4*x^2}} dx}
[/mm]
2) [mm] \integral_{}^{}{sin(ln x) dx}
[/mm]
3) [mm] \integral_{}^{}{ln(x) dx} [/mm] |
Moin Moin!
leider komme ich bei diesen Aufgaben nicht weiter.
1) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1 - 4*x^2}} dx}
[/mm]
Ich könnte zwar u = 1 [mm] -4*x^2 [/mm] bilden, dann ableiten
u ' = -8*x
Dann [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = -8*x bzw. dx = [mm] \bruch{- 1}{8*x}*du
[/mm]
Aber wenn ich diese Ergebnisse in das Integral einsetze, hängt dasselbe von u und x ab!?!
Wie könnte ich hier vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
Wende hier folgende Substitution an: $2x \ =: \ [mm] \sin(u)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 17.04.2013 | | Autor: | hase-hh |
Hallo Loddar,
2x = sin(u)
äh, bezieht sich das auf Aufgabe 2 ?
Und wie um Himmelswillen kommt man auf so einen Ansatz???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Nein, das bezieht sich schon auf die Aufgabe 1 (wie auch in meiner Überschrift angegeben).
Wie kommt man darauf? Indem man weiß, dass z.B. gilt: [mm]\left[ \ \arcsin(x) \ \right]' \ = \ \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mi 17.04.2013 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
ok... versuchen wirs.
2x = sin(u)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1 - (sin(u))^2}} dx} [/mm] *korrigiert*
Jetzt müsste ich die Ableitung nach u bilden... ???
arcsin{2x} = u
u ' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 - 4*x^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 - 4*x^2}}
[/mm]
dx = [mm] \wurzel{1 - 4*x^2} [/mm]
Drehe ich mich da jetzt nicht im Kreis?
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Hallo nochmal,
etwas mehr Übersicht würde nicht schaden. 
> ok... versuchen wirs.
>
> 2x = sin(u)
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1 - (sin(u))^2} dx}[/mm]
Tja, da ist das Problem. Es ist nicht immer gut, gleich alles zu substituieren...
Lass doch mal alles stehen und mach wie folgt weiter:
> Jetzt müsste ich die Ableitung nach u bilden... ???
Hervorragende Idee. Geradezu genial. Genauso geht das.
> arcsin{2x} = u
>
> u ' = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 - 4*x^2}}[/mm]
Wunderbar. Und so richtig.
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 - 4*x^2}}[/mm]
>
>
> dx = [mm]\wurzel{1 - 4*x^2}[/mm]
Da ist das "du" verschwunden, sonst gut. Jetzt setz das doch mal in Dein ursprüngliches Integral ein.
> Drehe ich mich da jetzt nicht im Kreis?
Es führt über de-hen Main eine Brücke aus Stein...
Ach nein, da heißt es ja "muss im Tanze sich drehn".
Pardon.
Die wahre Antwort aber heißt: nein.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Do 18.04.2013 | | Autor: | hase-hh |
Anmerkung
arcsin{2x} = u
Bei der Ableitung muss ich hier noch die innere Ableitung berücksichtigen!!
u ' = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 - 4*x^2}}*2[/mm]
[mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{2}{\wurzel{1 - 4*x^2}}[/mm]
dx = [mm]\bruch{1}{2}*\wurzel{1 - 4*x^2}*du[/mm]
... dann kommt man auch zum gleichen Ergebnis wie auf dem anderen Weg.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> 2x = sin(u)
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1 - (sin(u))^2} dx}[/mm]
Huch, wo ist die Wurzel im Nenner entschwunden.
> Jetzt müsste ich die Ableitung nach u bilden... ???
Es geht einfacher:
[mm]2*x \ = \ \sin(u)[/mm]
[mm]\gdw \ \ x \ = \ \bruch{1}{2}*\sin(u)[/mm]
[mm]\Rightarrow \ \bruch{dx}{du} \ = \ \bruch{1}{2}*\cos(u)[/mm]
[mm]\gdw \ dx \ = \ \bruch{1}{2}*\cos(u)*du[/mm]
Anschließend benötigst Du noch [mm]\sin^2(u)+\cos^2(u) \ = \ 1[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Do 18.04.2013 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
d.h.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1 - sin^2(u)}} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1 - sin^2(u)}}*\bruch{1}{2}*cos(u)} [/mm] du
[mm] sin^2(u) [/mm] + [mm] cos^2(u) [/mm] = 1
[mm] sin^2(u) [/mm] = 1 - [mm] cos^2(u)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1 - (1 - cos^2(u))}}*\bruch{1}{2}*cos(u)} [/mm] du
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{cos^2(u)}}*\bruch{1}{2}*cos(u)} [/mm] du
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}} [/mm] du = [mm] \bruch{1}{2}*u [/mm] + C = [mm] \bruch{1}{2}*arcsin(2x) [/mm] + C
Richtig?
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Hallo,
> Moin!
>
> d.h.
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1 - sin^2(u)}} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1 - sin^2(u)}}*\bruch{1}{2}*cos(u)}[/mm]
> du
>
> [mm]sin^2(u)[/mm] + [mm]cos^2(u)[/mm] = 1
> [mm]sin^2(u)[/mm] = 1 - [mm]cos^2(u)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1 - (1 - cos^2(u))}}*\bruch{1}{2}*cos(u)}[/mm]
> du
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{cos^2(u)}}*\bruch{1}{2}*cos(u)}[/mm]
> du
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}}[/mm] du = [mm]\bruch{1}{2}*u[/mm] + C
> = [mm]\bruch{1}{2}*arcsin(2x)[/mm] + C
>
> Richtig?
Es wurde ja schon angemerkt: an deinen Schreibweisen solltest du noch arbeiten. Aber es ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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Hallo hase-hh,
> Bilden Sie folgende Integrale mithilfe einer geeigneten
> Substitution:
>
> 1) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1 - 4*x^2}} dx}[/mm]
>
> 2) [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x) dx}[/mm]
>
> 3) [mm]\integral_{}^{}{ln(x) dx}[/mm]
> Moin Moin!
>
> leider komme ich bei diesen Aufgaben nicht weiter.
Bei den Aufgaben 2) und 3) lautet die Substitution [mm]x=e^{z}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mi 17.04.2013 | | Autor: | hase-hh |
Mir geht es in erster Linie um die Vorgehensweise...
Aufgabe 3
[mm] \integral_{}^{}{ln x dx}
[/mm]
1. Substituieren
u = ln x
2. Umkehrung notieren
x = [mm] e^u
[/mm]
3. u ableiten
u ' = [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
nach dx auflösen...
x*du = dx
4. einsetzen
[mm] \integral_{}^{}{u*x*du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{u*e^u du}
[/mm]
5. partiell integrieren
g = u h ' = [mm] e^u
[/mm]
g ' = 1 h = [mm] e^u
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{u*e^u du} [/mm] = [mm] [u*e^u] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^u du}
[/mm]
= [mm] u*e^u [/mm] - [mm] e^u [/mm] + C
6. Resubstituieren
= ln(x)*x - x + C
Aufgabe 2
[mm] \integral_{}^{}{sin(ln(x)) dx}
[/mm]
Substituieren
u = ln x Umkehrung: x = [mm] e^u
[/mm]
u ' = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
x*du = dx
[mm] \integral_{}^{}{sin u*e^u du}
[/mm]
partielle Integration...
g = sin u h ' = [mm] e^u
[/mm]
g ' = cos u h = [mm] e^u
[/mm]
= [sin u * [mm] e^u] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{cos u*e^u du}
[/mm]
k = cos u l ' = [mm] e^u
[/mm]
k ' = - sin u l = [mm] e^u
[/mm]
= [sin u * [mm] e^u] [/mm] - ( [cos u * [mm] e^u] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{ - sin u * e^u du} [/mm] )
2* [mm] \integral_{}^{}{u*e^u du} [/mm] = sin u * [mm] e^u [/mm] - cos u * [mm] e^u
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{u*e^u du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(sin [/mm] u * [mm] e^u [/mm] - cos u * [mm] e^u)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{u*e^u du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(sin(ln [/mm] x) *x - cos(ln x) *x) +C
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Hallo hase-hh,
alles richtig.
Das erste Integral (also hier Aufgabe 2) geht auch ohne Substitution per partieller Integration.
Wenn man es nicht sowieso als bekannt voraussetzen darf...
Grüße
reverend
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