Integration durch Substitution < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | w = [mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{4}ln(2)} \bruch{e^-4x}{1+e^-4x}\, [/mm] dx |
Hi,
ich habe da ein Problem. Schreibe in paar Wochen eine Mathe Klausur. Bin auch mit der Vorbereitung soweit fertig. Nur diese eine Aufgabe bzw. diesen Aufgabentypen verstehe ich nicht. Im Skript vom Prof ist das zwar erklärt, aber leider mehr schlecht als recht.
In der Lösung vom Prof zu dieser Aufgabe steht:
Substitution: u = e^-4x
und als Ergebnis soll rauskommen: w = (1/4)ln(4/3)
Wäre super toll, wenn mir bitte jemand einen relativ genauen Lösungsweg schreiben könnte.
P.S. Die Aufgabe gibt die wenigstens Punkte in der Klausur (3Punkte), also kann das eigentlich nicht so schwer sein. Beim dem Prof erkennt man anhand der Punkte wie viel Aufwand man haben sollte.
Vielen DANK
POC
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> w = [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{4}ln(2)} \bruch{e^{-4x}}{1+e^{-4x}}\,[/mm] dx
Schreibe bitte Exponenten in geschweifte Klammern.
> Substitution: u = [mm] e^{-4x}
[/mm]
Im kompletten Vorrechnen sehe ich keinen Sinn.
Du lernst am besten, wenn Du es selbst schaffst.
Also: Berechne [mm] \frac{du}{dx}=(e^{-4x})'.
[/mm]
Damit kannst du dann das Integral
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{4}ln(2)} \bruch{e^{-4x}}{1+e^{-4x}}\, [/mm] dx
in ein Integral der Form
[mm] \int_{u(0)}^{u(\bruch{1}{4}ln(2))}g(u) [/mm] du
transformieren. Bestimme die Funktion g(u).
LG
> und als Ergebnis soll rauskommen: w = (1/4)ln(4/3)
|
|
|
| |
|
Also leider verstehe ich kein Wort sry.
Wenn ich [mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{4}ln(2)} \bruch{e^{-4x}}{1+e^{-4x}}\, [/mm] dx mit u= [mm] e^{-4x} [/mm] substituiere, dann bekomme ich:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{4}ln(2)} \bruch{u}{1+u}\, [/mm] dx
nun [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] e^{-4x} [/mm] nach dx auflösen.
Kommt:
dx = [mm] \bruch{1}{-4e^{-4x}}*du
[/mm]
setze ich das nun ein mit neuen grenzen:
[mm] \integral_{1}^{2} \bruch{u}{1+u*(-4e^{-4x})}\, [/mm] du
so und ab hier kann ich mir beim besten Willen nicht vorstellen, dass ich das richtig mache.
Ich hoffe du kannst mit weiterhelfen.
MFG
POC
|
|
|
| |
|
Hallo powerofcan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also leider verstehe ich kein Wort sry.
> Wenn ich [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{4}ln(2)} \bruch{e^{-4x}}{1+e^{-4x}}\,[/mm]
> dx mit u= [mm]e^{-4x}[/mm] substituiere, dann bekomme ich:
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{4}ln(2)} \bruch{u}{1+u}\,[/mm] dx
> nun [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]e^{-4x}[/mm] nach dx auflösen.
> Kommt:
> dx = [mm]\bruch{1}{-4e^{-4x}}*du[/mm]
>
Jetzt ersetze auf der rechten Seite [mm]e^{-4x}[/mm] durch u:
[mm]dx=\bruch{1}{-4u}\ du[/mm]
> setze ich das nun ein mit neuen grenzen:
>
> [mm]\integral_{1}^{2} \bruch{u}{1+u*(-4e^{-4x})}\,[/mm] du
>
Damit lautet das zu lösende Integral:
[mm]\integral_{1}^{2} \bruch{u}{\left(1+u\right)} \bruch{1}{\left(-4\right)u} \ du [/mm]
> so und ab hier kann ich mir beim besten Willen nicht
> vorstellen, dass ich das richtig mache.
>
> Ich hoffe du kannst mit weiterhelfen.
>
> MFG
> POC
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi, erstmal vielen Dank.
Hatte eben die neuen Grenten falsch gerechnet.
Man muss ja einfach die alten Grenzen in u = [mm] e^{-4x} [/mm] einsetzen oder?
So nun habe ich ja:
[mm] \integral_{2}^{\bruch{1}{2}} \bruch{u}{\left(1+u\right)} \bruch{1}{\left(-4\right)u} [/mm] du
da müsste man ja das u kürzen können.
[mm] \integral_{2}^{\bruch{1}{2}} \bruch{1}{\left(1-4u\right)} [/mm] du
da kommt doch nun sowas raus:
[mm] [-\bruch{ln(\left| 1-4u \right|)}{4}] [/mm] mit den Grenzen.
Aber damit komme ich leider nicht auf das gewünsche Ergebnis.
MFG
POC
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Di 29.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hi, erstmal vielen Dank.
>
> Hatte eben die neuen Grenten falsch gerechnet.
> Man muss ja einfach die alten Grenzen in u = [mm]e^{-4x}[/mm]
> einsetzen oder?
genau.
>
> So nun habe ich ja:
>
> [mm]\integral_{2}^{\bruch{1}{2}} \bruch{u}{\left(1+u\right)} \bruch{1}{\left(-4\right)u}[/mm]
> du
Die obere Grenze stimmt, die untere aber nicht. Was ist denn eine beliebige Zahl hoch 0?
>
> da müsste man ja das u kürzen können.
>
> [mm]\integral_{2}^{\bruch{1}{2}} \bruch{1}{\left(1-4u\right)}[/mm]
> du
Ja man kann das u kürzen, allerdings darf man den Rest nicht einfach beliebig zusammenwürfeln:
$ [mm] \bruch{u}{\left(1+u\right)} \bruch{1}{\left(-4\right)u} =-\frac{1}{4(u+1)}\neq \frac{1}{1-4u}$ [/mm]
>
> da kommt doch nun sowas raus:
> [mm][-\bruch{ln(\left| 1-4u \right|)}{4}][/mm] mit den Grenzen.
>
> Aber damit komme ich leider nicht auf das gewünsche
> Ergebnis.
>
> MFG
> POC
>
Nimm die richtige Funktion und die richtigen Grenzen, dann sollte es auch stimmen.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Di 29.05.2012 | | Autor: | powerofcan |
ENDLICH HAB ICH ES RAUS.... VIELEN VIELEN DANK
|
|
|
|
