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Hi, ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe, ich sitze nun schon einige Zeit und komme einfach nicht zur Lösung:
f(x) = [mm] \bruch{1}{ x^{2}*\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
folgende Substitution soll laut Aufgabenstellung verwendet werden:
x = [mm] \bruch{1}{t}
[/mm]
Ich verstehe nicht, was ich mit der Substitution anfangen soll..., wenn mir jemand den Anfang der Rechnung erklären könnte, wäre das vielleicht schon hilfreich.
Danke im Vorraus
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:02 Di 08.02.2005 | | Autor: | abi05bw |
Na ja, einfach für x 1/t einsetzen. Dann lässt sich das 1/t² nach oben verschieben. Alles quadrieren, sodass die Wurzel entfällt. Rauskürzen, auf zwei Brüche verteilen und Ausklammern. Schließlich resubstituieren und schon hat man die Lsg., die ich bei der einfachen rechnung aber mal weg lasse.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Mi 09.02.2005 | | Autor: | cologne |
hallo martin,
ersteinmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
die antwort von abi05bw erscheint mir zu trivial und deshalb falsch. vielleicht kann ich dir helfen:
>[mm] f(x) = [mm] \bruch{1}{ x^{2}*\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
>
> folgende Substitution soll laut Aufgabenstellung verwendet
> werden:
>
> x = 1/t
mit dieser ersten substitution erhälst du:
g(t)=x= [mm] \bruch{1}{t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
g'(t)= [mm] \bruch{dx}{dt}=-1 \bruch{1}{t^{2}}
[/mm]
in diese substitutionsregel: [mm] \integral_{}^{} [/mm] {f(x) dx}= [mm] \integral_{}^{} [/mm] {f(g(t))g'(t) dt} mit x=g(t) eingesetzt:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{t^{2}}{ \wurzel[]{1- \bruch{1}{t^{2}}}} \*-1 \bruch{1}{t^{2}}dt}
[/mm]
das nun erhaltene integral solltest du etwas umstellen und dann nochmal substituieren (mit u= [mm] t^{2}-1)
[/mm]
danach die substitutionsterme wieder einsetzen und du erhälst das richtige integral. rechne mal weiter und wenn du probleme hast, schreib nochmal.
gruß gerd
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Hi Gerd,
erstmal vielen lieben Dank für Deine Hilfe, bin ein ganzes Stückchen weiter gekommen,
also folgendes hab ich jetzt gerechnet:
f(x) = [mm] \bruch{1}{x^2*\wurzel{1-x^2}} [/mm] g(x)= [mm] \bruch{1}{t}
[/mm]
g'(x)= [mm] -\bruch{1}{t^2}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{\bruch{1}{t^2}*\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}}*-\bruch{1}{t^2}}{ dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{} {\bruch{t^2}{\wurzel{1*\bruch{1}{t^2}}}*-\bruch{1}{t^2}}{ dt}
[/mm]
= [mm] -1*\integral_{}^{} {\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}}}{ dt}
[/mm]
= [mm] 1*\integral_{}^{} {\bruch{1}{1-\bruch{1}{t^2}}}{ dt^2}
[/mm]
Kann man das einfach alles quadieren und muss man das dt am Ende mit quadrieren??
Ich geh mal jetzt davon aus, dass das geht...
= [mm] 1*\integral_{}^{} {\bruch{1}{\bruch{t^2-1}{t^2}}}{ dt^2}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{} {\bruch{t^2}{t^2-1}}{ dt^2}
[/mm]
ich versteh jetzt leider nicht ganz, wie das mit der zweiten Substitution gehen soll, soetwas haben wir noch nie gemacht, die Aufgabe sollen wir uns eh nur angucken, aber trotzdem würd ich jetzt gerne wissen, wie es weitergeht...Danke nochmal!
Also ich hab folgendes versucht:
[mm] u=t^2-1
[/mm]
u'=2t
du=2t*dt
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Hallo,
schreibe das Integral doch anders:
[mm]
\int {\frac{1}
{{\sqrt {1\; - \;\frac{1}
{{t^2 }}} }}\;dt} \; = \;\int {\frac{t}
{{\sqrt {t^2 \; - \;1} }}\;dt} [/mm]
Dies kann, wie Du schon geschrieben hast, durch die Substitution
[mm]\begin{gathered}
u\; = \;t^2 \; - \;1 \hfill \\
du\; = \;2t\;dt \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
vereinfacht werden.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mi 09.02.2005 | | Autor: | CurzonDax |
Danke!! Ich hab die Aufgabe gelöst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Do 10.02.2005 | | Autor: | cologne |
hallo,
nochmal ein hinweis:
> = [mm]1*\integral_{}^{} {\bruch{1}{1-\bruch{1}{t^2}}}{ dt^2}
[/mm]
>
>
> Kann man das einfach alles quadieren und muss man das dt am
> Ende mit quadrieren??
> Ich geh mal jetzt davon aus, dass das geht...
beim umstellen oder vereinfachen, musst du aufpassen, welche rechenschritte du vornimmst. hast du eine gleichung, kannst du ohne weiteres beide seiten quadrieren.
nur ist das hier nicht der fall. brüche kannst du durch erweiterung umstellen.
und dann hast du dir aber auch eine sehr schwierige aufgabe herausgesucht 
was hast du denn nun herausbekommen?
gruß gerd
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Do 10.02.2005 | | Autor: | CurzonDax |
[mm] -\integral_{}^{} {\bruch{1}{2*\wurzel{u}} du}
[/mm]
= [mm] -[\wurzel{u}]
[/mm]
das hab ich dann alles rücksubstituiert und Folgendes als Stammfunktion rausbekommen:
F(x) = [mm] -\wurzel{\bruch{1}{x^2}-1}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{x}*\wurzel{1-x^2}
[/mm]
Nochmals Danke für die Hilfe!
Liebe Grüße
Martin
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