Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Mi 26.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Integration durch Substitution
[mm] \integral_{}^{}{sin^3(x)*cos(x) dx} [/mm] |
hierzu finde ich einen Lösungsweg, den ich nicht begreife:
sin(x) = z
dx= [mm] \bruch{dz}{cos(x)}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{(z^3) dz} [/mm] = [mm] \bruch{z^4}{4}+c [/mm] = [mm] \bruch{sin^4(x)}{4}+c
[/mm]
hier gibt es keine Ableitung von z und cos(x) löst sich einfach auf. Wie kann ich das verstehen?
PS: diese Frege wurde in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 26.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie mit Integration durch Substitution
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin^3(x)*cos(x) dx}[/mm]
> hierzu finde ich einen
> Lösungsweg, den ich nicht begreife:
>
> sin(x) = z
>
> dx= [mm]\bruch{dz}{cos(x)}[/mm]
Hallo RudiBe,
Wenn wir sin(x) durch z ersetzen, kann auch dx durch [mm]\bruch{dz}{cos(x)}[/mm] ersetzt werden.
Nehmen wir mal das Original:
[mm]\integral_{}^{}{sin^3(x)*cos(x) dx}[/mm]
und ersetzen [mm] sin^3(x) [/mm] durch [mm] z^3:
[/mm]
[mm] ...=\integral_{}^{}{z^3*cos(x) dx}
[/mm]
und ersetzen dx durch [mm]\bruch{dz}{cos(x)}[/mm]
[mm] ...=\integral_{}^{}\bruch{z^3*cos(x)*dz}{cos(x)}
[/mm]
und jetzt kürzen wir noch cos(x) !
Das bleibt übrig:
> [mm]\integral_{}^{}{(z^3) dz}[/mm] = [mm]\bruch{z^4}{4}+c[/mm] =
Und jetzt machen wir die Substitution wieder rückgängig. Es war doch z= sin(x).
> [mm]\bruch{sin^4(x)}{4}+c[/mm]
Viele Grüße
Abakus
>
> hier gibt es keine Ableitung von z und cos(x) löst sich
> einfach auf. Wie kann ich das verstehen?
>
>
>
> PS: diese Frege wurde in keinem anderen Forum gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mi 26.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
Mir ist noch nicht klar woher ich einfach dx mit [mm] \bruch{dz}{cos(x)} [/mm] gleich setzten soll,
auf diese Art und Weise könnte ich ja jeden zweiten Term einer solchen Funktion einfach verschwinden lassen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo RudiBe,
> Mir ist noch nicht klar woher ich einfach dx mit
> [mm]\bruch{dz}{cos(x)}[/mm] gleich setzten soll,
es gilt:
z=sin(x) und nun leitet man nach x ab
[mm] $\bruch{dz}{dx}=cos(x)$ [/mm] und "löst" dies nach "dx" auf
[mm] $dx=\bruch{dz}{cos(x)}$ [/mm]
ich habe "löst" in Anführungszeichen gesetzt,
da [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] ja eigentlich kein Bruch ist
sondern eine Schreibweise für "die Ableitung von z nach x"
dennoch darf man es hier so anwenden,
und wendet es auch so an
Viele Grüße,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Mi 26.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
mich hatte nur ein nichtvorhandenes Minus vor dem cos(x) gestört, aber das ist ja eine Ableitung von sin(x) und keine Stammfunktion -> jetzt ist alles klar!
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