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| Aufgabe | Der Satz
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Sei [mm]f[/mm] mit Stammfunktion [mm]F[/mm] und [mm]g[/mm] stetig differnenzierbar. Dann gilt:
[mm]\int_{a}^{b}{f(g(x)) * g'(x) dx} = \int_{g(a)}^{g(b)}{f(t) dt}[/mm] und [mm]\int{f(g)*g' = F(g)}[/mm]
Insbesondere: [mm]\int{g*g'}=\frac{1}{2}*g^2[/mm] und [mm]\int{\frac{g'}{g}}=\ln\left|g\right|[/mm]
Merkregel: Ersetze [mm]t = g(x)[/mm] und [mm]dt = g'(x) dx[/mm].
Die Aufgabe
*************
Berechnen Sie mit geeigneter Substitution [mm]\int_{0}^{4}{e^{\sqrt{x}} dx}[/mm]. |
Hallo Community,
ich habe in meinem Script den oben stehenden Satz angegeben. Nun hatte wollte ich versuchen die (ebenfalls oben angegebene) Aufgabe damit zu lösen.
[mm]\int_{0}^{4}{e^{\sqrt{x}} dx} = \int_{2}^{0}{e^{t} * \frac{1}{2*\sqrt{t}} dt} = \ldots[/mm] (unter der Verwendung von [mm]\sqrt{x} = t[/mm] und [mm]dx = \frac{1}{2*\sqrt{t}} dt[/mm]).
Allerdings ist im Anhang bei den Musterlösungen ein anderer "Ansatz" gewählt:
[mm]\int_{0}^{4}{e^{\sqrt{x}} dx} = \int_{2}^{0}{e^{t} * 2t dt} = \ldots[/mm] (unter der Verwendung von [mm]\sqrt{x} = t[/mm] und [mm]dx = 2t dt[/mm]).
Meine Frage ist nun was ich falsch verstanden haben könnte. Ich meine, [mm]dx[/mm] soll doch durch [mm]g'(x) dt[/mm] ersetzt werden, oder? Und die Ableitung von [mm]\sqrt{x}[/mm] ist doch [mm]\frac{1}{2*\sqrt{x}}[/mm], oder?
Vielen lieben Dank im Voraus :)
Grüße,
NE
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Hallo!
> Der Satz
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> Sei [mm]f[/mm] mit Stammfunktion [mm]F[/mm] und [mm]g[/mm] stetig differnenzierbar.
> Dann gilt:
>
> [mm]\int_{a}^{b}{f(g(x)) * g'(x) dx} = \int_{g(a)}^{g(b)}{f(t) dt}[/mm]
> und [mm]\int{f(g)*g' = F(g)}[/mm]
>
> Insbesondere: [mm]\int{g*g'}=\frac{1}{2}*g^2[/mm] und
> [mm]\int{\frac{g'}{g}}=\ln\left|g\right|[/mm]
> Merkregel: Ersetze [mm]t = g(x)[/mm] und [mm]dt = g'(x) dx[/mm].
>
>
> Die Aufgabe
> *************
> Berechnen Sie mit geeigneter Substitution
> [mm]\int_{0}^{4}{e^{\sqrt{x}} dx}[/mm].
> Hallo Community,
>
> ich habe in meinem Script den oben stehenden Satz
> angegeben. Nun hatte wollte ich versuchen die (ebenfalls
> oben angegebene) Aufgabe damit zu lösen.
>
> [mm]\int_{0}^{4}{e^{\sqrt{x}} dx} = \int_{2}^{0}{e^{t} * \frac{1}{2*\sqrt{t}} dt} = \ldots[/mm]
> (unter der Verwendung von [mm]\sqrt{x} = t[/mm] und [mm]dx = \frac{1}{2*\sqrt{t}} dt[/mm]).
>
Nach was hast du hier abgeleitet? Wenn du nach x ableitest wovon ich ausgehe dann muss es aber [mm] dt=\bruch{1}{2\wurzel{x}}dx [/mm] heissen. Nun stellen wir es nach dx um. Es ist dann [mm] dx=2\wurzel{x}\cdot [/mm] dt. Nun in das Integral einsetzen und es folgt: [mm] 2\integral_{0}^{2}{e^{t}\cdot\wurzel{x} dt}=2\integral_{0}^{2}{e^{t}\cdot t dt} [/mm] und nun partiell integrieren. ok?
> Allerdings ist im Anhang bei den Musterlösungen ein anderer
> "Ansatz" gewählt:
>
> [mm]\int_{0}^{4}{e^{\sqrt{x}} dx} = \int_{2}^{0}{e^{t} * 2t dt} = \ldots[/mm]
> (unter der Verwendung von [mm]\sqrt{x} = t[/mm] und [mm]dx = 2t dt[/mm]).
>
Genau diesen Ansatz habe ich oben geschrieben 
> Meine Frage ist nun was ich falsch verstanden haben könnte.
> Ich meine, [mm]dx[/mm] soll doch durch [mm]g'(x) dt[/mm] ersetzt werden,
> oder? Und die Ableitung von [mm]\sqrt{x}[/mm] ist doch
> [mm]\frac{1}{2*\sqrt{x}}[/mm], oder?
>
Ja.
> Vielen lieben Dank im Voraus :)
>
> Grüße,
> NE
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Hey Tyskie84,
vielen Dank. Logisch, muss nach dx umgestellt werden und dann natürlich auch substituiert werden. Jetzt versteh ich's (hoffentlich).
Grüße,
NE
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