Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x)= [mm] 4*x*e^{-x^2} [/mm]
Stammfunktion bestimmen und [mm] \integral_{2}^{3}{f(x) dx} [/mm] |
Hallo,
war eine Woche krank und versuche mir jetzt partielle Integration und Integration durch Substituion selber beibringen. Beim 1. habe ich das auch noch ganz gut geschafft, aber das andere verstehe ich kaum.
Ansatz:
Substituion: [mm] z=g(x)=-x^2 [/mm] und [mm] f(z)=e^z [/mm]
Ableitung: g'(x)= -2x=dz/dx ==> -2x dx=dz
So und weiter weiß ich nicht. Ich würde jetzt einsetzen: [mm] \integral_{2}^{3}{f(g(x))*g'(x) dx} [/mm]
mFg totmacher
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Hallo!
Das Integral lässt sich mit Integration durch Substitution lösen so wie du es auh vor hattest hoffe ich. Nun wenn ich dich richtig verstanden habe dann liegt dein Problem darin [mm] e^{-x²} [/mm] zu integrieren. Dann mache ich dir das mal vor.
[mm] \integral_{a}^{b}{4x e^{-x²} dx}
[/mm]
Substitution: u=-x² [mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}=-2x \Rightarrow dx=\bruch{du}{-2x} [/mm] Nun setzt du dein erechnetes dx in das Integral ein
[mm] \integral_{a'}^{b'}{4x e^{u} \bruch{du}{-2x}} [/mm] Jetzt kann man kürzen  woraus dann folgt
[mm] -\integral_{a'}^{b'}{2e^{u} du} \Rightarrow -2e^{u} [/mm] = [mm] -2e^{-x²} [/mm] nun deine Grenzen einsetzen. Beachte dass wenn du substituierst sich auch deine Grenzen ändern wenn du aber zurücksubstituierst dann wieder deine alten grenzen nimmst.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{2}^{1}{8x*ln(x) dx} [/mm] |
Danke für die super Erklärung! Aber nun habe ich wieder ne Aufgabe wo ich mir nicht ganz sicher bin.
Ansatz: u(x)=8x u'(x)=8
v'(x)=ln(x) v(x)=x*ln(x)-x
[mm] u(x)*v(x)-\integral_{a}^{b}{u'(x)*v(x) dx} [/mm]
(8x*x*ln(x)-x) - [mm] \integral_{2}^{1}{8x*ln(x)-x dx} [/mm]
Wie bilde ich denn die Stammfunktion von 8x*ln(x)-x?? Ist das 1/4 [mm] x^2*x*ln(x)-x??
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo totmacher!
Verwende einfach die Methode aus der Überschrift mit "Substitution":
$$z \ := \ [mm] \ln(x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Mi 06.02.2008 | | Autor: | totmacher |
Habe ich mir auch gedacht, aber die Aufgabe gehörte im Buch zur Abteilung "ohne Substitution". Dann versuche ich sie mal eben zu lösen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mi 06.02.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{2}^{1}{8x*ln(x) dx}[/mm]
> Danke für die super
> Erklärung! Aber nun habe ich wieder ne Aufgabe wo ich mir
> nicht ganz sicher bin.
>
> Ansatz: u(x)=8x u'(x)=8
> v'(x)=ln(x) v(x)=x*ln(x)-x
Die partielle Integration macht Sinn, wenn sich z.B. u'v bedeutend leichter integrieren lässt als uv.
Du behältst doch einen Faktor bei und "ersetzt" den zweiten durch seine Ableitung, und dieses Produkt integrierst du.
Hier hast du mit deiner Wahl gerade die Ausgangssituation noch verschlimmert.
Wenn du umgedreht 8x behältst und ln x durch seine Ableitung 1/x ersetzt, musst du hinten das Produkt 8x*1/x (also nur eine blanke 8 ohne jegliches störende "ln") integrieren.
>
> [mm]u(x)*v(x)-\integral_{a}^{b}{u'(x)*v(x) dx}[/mm]
> (8x*x*ln(x)-x) - [mm]\integral_{2}^{1}{8x*ln(x)-x dx}[/mm]
>
> Wie bilde ich denn die Stammfunktion von 8x*ln(x)-x?? Ist
> das 1/4 [mm]x^2*x*ln(x)-x??[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Mi 06.02.2008 | | Autor: | totmacher |
Danke! Sehe es jetzt auch gerade wie einfach es in Wirklichkeit ist.
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