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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Di 30.10.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bilde die Stammfunktionen folgender Funktionen mithilfe der Substitution.
a) [mm] \bruch{x}{ \wurzel{a^2+x^2}} [/mm]
b) [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] * x
c) [mm] \wurzel{x^2-a^2} [/mm] * x
d) Meine Frage: Wie funktioniert die Integration durch Substitution; bitte an einem Beispiel erklären!
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Moin!
d) Habe noch nicht verstanden, wie die Integration durch Substitution funktioniert!
Vielleicht kann mir das hier mal jemand an einem einfacheren Beispiel erklären!
Bei a) bin ich soweit gekommen, ist das richtig / warum?
anm.: die grenzen sind im moment unwichtig!
[mm] \integral_{a}^{b}{(\bruch{x}{ \wurzel{a^2+x^2}}) dx}
[/mm]
hier weiss ich schon nicht, wie ich sinnvoll substituiere. ich habe es mit u= [mm] a^2+x^2 [/mm] versucht, und erhalte...
u' = 2x => 2x = [mm] \bruch{du}{dx}
[/mm]
dx = [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x}{\wurzel{a^2+x^2}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x}{ \wurzel{u}}*\bruch{du}{2x}}
[/mm]
und nun??
würde ja gerne 2x gegen x kürzen, aber ob das überhaupt erlaubt ist??
vielen dank für eure hilfe!
wolfgang
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Hallo Wolfgang,
> Bei a) bin ich soweit gekommen, ist das richtig / warum?
>
> anm.: die grenzen sind im moment unwichtig!
>
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> [mm]\integral_{a}^{b}{(\bruch{x}{ \wurzel{a^2+x^2}}) dx}[/mm]
>
> hier weiss ich schon nicht, wie ich sinnvoll substituiere.
> ich habe es mit [mm] u=a^2+x^2 [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") versucht, und erhalte...
>
> u' = 2x => 2x = [mm]\bruch{du}{dx}[/mm]
>
> dx = [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{\wurzel{a^2+x^2}} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{ \wurzel{u}}*\bruch{du}{2x}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und nun??
>
> würde ja gerne 2x gegen x kürzen, aber ob das überhaupt
> erlaubt ist??
Na klar, dann erhältst du $\int{\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{u}}du}=\frac{1}{2}\int{u^{-\frac{1}{2}}du}$
Das nun lösen und dann resubstituieren...
Allerdings ist es nicht so schön, wenn man nach der Substitution immer noch beide Variablen unter dem Integral stehen hat.
Das ist hier nicht so wild, weil sich die alte Variable $x$ direkt rauskürzt, aber "schöner" ist es so:
Deine Substitution ist genau richtig, die behalten wir bei:
$u:=a^2+x^2$
$\Rightarrow x^2=u-a^2\Rightarrow x=\sqrt{u-a^2}$
Damit ist $\frac{dx}{du}=\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{u-a^2}$
Damit ergibt sich für das Integral: $\int{\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}=\int{\frac{\sqrt{u-a^2}}{\sqrt{u}}\cdot{}\frac{du}{2\cdot{}\sqrt{u-a^2}}$
Hier tritt also ausschließlich die "neue" Variable u im Integral auf...
$=\int{\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{u}}}$
Also dasselbe Integral wie du auch hast
Versuche die anderen Integrale auch durch ähnlich "plausible" Substitutionen zu lösen, das geht alles ganz ähnlich
Was die Grenzen betrifft, so hast du 2 Möglichkeiten:
Entweder du substituierst sie mit, schreibst sie also in der neuen Variablen
ODER
du löst das unbestimmte Integral, substituierst zurück und setzt dann die "alten" Grenzen ein
OK erstmal?
LG
schachuzipus
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