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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Sa 26.11.2005 | | Autor: | svenchen |
Hallo,
Könnt ihr mir vielleicht bei einer Aufgabe behilflich sein? Mir fehlt hier im Moment noch zu erkennen, wie ich diese Aufgaben am Besen löse:
Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] (lnx)^{3}. [/mm] Geben Sie eine Stammfunktion an.
Ich würde diese Aufgabe gerne über Integration durch Substitution lösen. Dazu habe ich lnx = z substituiert. Außerdem habe ich noch dx = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] du berechnet. Also kann schonmal folgender Zsuammenhang festgehalten werden:
[mm] \integral_{a}^{b} {(lnx)^{3} dx} [/mm] = [mm] (z)^{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{z^{3}}{x}
[/mm]
aber wie finde ich jetzt eine Stammfunktion von [mm] \bruch{z^{3}}{x} [/mm] ?
könnt ihr mir helfen'?
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Hallo svenchen,
> Hallo,
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> Könnt ihr mir vielleicht bei einer Aufgabe behilflich sein?
> Mir fehlt hier im Moment noch zu erkennen, wie ich diese
> Aufgaben am Besen löse:
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> Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm](lnx)^{3}.[/mm] Geben Sie eine
> Stammfunktion an.
>
> Ich würde diese Aufgabe gerne über Integration durch
> Substitution lösen. Dazu habe ich lnx = z substituiert.
> Außerdem habe ich noch dx = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] du berechnet.
> Also kann schonmal folgender Zsuammenhang festgehalten
> werden:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} {(lnx)^{3} dx}[/mm] = [mm](z)^{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> = [mm]\bruch{z^{3}}{x}[/mm]
>
> aber wie finde ich jetzt eine Stammfunktion von
> [mm]\bruch{z^{3}}{x}[/mm] ?
>
> könnt ihr mir helfen'?
>
das x musst Du auch ersetzen.
Dann steht da:
[mm]\int {(\ln \;x)^3 \;dx} \; = \;\int {z^3 \;e^z \;d} z[/mm]
Dieses Integral ist dann durch partielle Integration zu lösen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 26.11.2005 | | Autor: | svenchen |
Hi, danke!
hab die Aufgabe hetzt gelöst, allerdings hab ich knapp eine Seite bei der partiellen Integration. Habe 3 mal partiell integrieren müssen, um endlich das Integral aufzuösen. Wenn du einen Trick kennst, mit dem es in 2-3 Schritten geht wäre es nett, wenn du deine Lösung mal schreiben könntest.
danke
svenchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Sa 26.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo svenchen
Esgeht leider nicht schneller! höchstens, man ahnt nach dem 1. Schritt wie's weiter geht, schreibt die fertige Formel hin und beweist sie durch differenzieren!
Gruss leduart
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Hallo svenchen,
> Hi, danke!
> hab die Aufgabe hetzt gelöst, allerdings hab ich knapp
> eine Seite bei der partiellen Integration. Habe 3 mal
> partiell integrieren müssen, um endlich das Integral
> aufzuösen. Wenn du einen Trick kennst, mit dem es in 2-3
> Schritten geht wäre es nett, wenn du deine Lösung mal
> schreiben könntest.
wie leduart schon geschrieben hat, geht es nicht schneller.
Darum hier die allgemeine Formel für solche Integrale
[mm]\int {z^n \;e^z \;dz\; = \;\sum\limits_{k = 0}^n {\left( { - 1} \right)^{n - k} \;\left( {n - k} \right)!\;z^k \;e^z } } [/mm]
Gruß
MathePower
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