Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, ich soll die Integrationsvariabel substituieren
[mm] \integral_{ }^{ } [/mm] {f( [mm] \wurzel{x²-1}) [/mm] dx}
x muss durch g(t)=1/cos(t) ersetzt werden
also dx = g'(t)
--> dx = sin(t)/cos²(t)
[mm] \integral_{ }^{ } [/mm] {f( [mm] \wurzel{1/(cos²(t) - 1}) [/mm] * sin(t)/cos²(t)dt}
Wenn ich das jetzt zusammenfasse komm ich auf
tan³(t) / cos(t) dt
und da weiß ich leider nicht weiter.
Ich brauch es nur zu integrieren, NICHT zurücksubstituieren.
Danke für Eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Lieber michaaa23
Bitte pass auf deine Klammerung auf, ich kann kaum verstehen was da los ist!
Also:
Nach der Integrationszeichen, hat f nichts mehr zu suchen!
Hier ist die Lösung deiner Aufgabe:
[mm]I=\integral{\wurzel{x^{2}-1}\ dx}[/mm]
[mm]x=\bruch{1}{\cos t}\qquad dx=\bruch{\sin t}{\cos^{2} t}\ dt[/mm]
[mm]I=\integral{\wurzel{\bruch{1}{\cos^{2} t}-1}\cdot\bruch{\sin t}{\cos^{2} t}\ dt}=\integral{\bruch{\sin^{2} t}{\cos^{3} t}\ dt}[/mm]
Hier hilft am besten, eine partielle Integration. Aber ich fürchte, das kennst du noch nicht. Also abwarten.
Schöne Grüße, 
Ladis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Di 25.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Wir beschäftige mich zur Zeit mit dem selben Thema. Deswegen habe ich das hier so interessiert gelesen und habe da auch gleich mal eine Frage.
> [mm]I=\integral{\wurzel{\bruch{1}{\cos^{2} t}-1}\cdot\bruch{\sin t}{\cos^{2} t}\ dt}=\integral{\bruch{\sin^{2} t}{\cos^{3} t}\ dt}[/mm]
Wie kommt man jetzt von diesem Schritt 1) auf Schritt 2)?
1) [mm] I=\integral{\wurzel{\bruch{1}{\cos^{2} t}-1}\cdot\bruch{\sin t}{\cos^{2} t}\ dt}
[/mm]
[mm] 2)=\integral{\bruch{\sin^{2} t}{\cos^{3} t}\ dt}
[/mm]
Habe es mit quadrieren versucht, dass da dann steht
[mm] I^{2}=\integral{\bruch{1}{\cos^{2} t}-1}\cdot\bruch{\sin t^2}{\cos^{2*2} t}\ [/mm] dt
Irgendwie war das aber falsch.
Hoffe ihr könnt mir da etwas Licht ins Dunkle bringen.
Danke
Grüße Johann.
|
|
|
| |
|
Hallo
wende auf Gleichung 1 einfach den trigonometrischen Pythagoras an und der Rest ergibt sich von selber
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Di 25.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Moin. Danke erst einmal, aber trotzdem bringt mich das nicht weiter. IRgendwo muss ein Denkfehler bei mir sein.
Der Pythagoras lautet [mm] sin^{2}t+cos^{2}t=1
[/mm]
angewendet auf 1)
$ [mm] I=\integral{\wurzel{\bruch{1}{\cos^{2} t}-1}\cdot\bruch{\sin t}{\cos^{2} t}\ dt} [/mm] $
=$ [mm] \integral{\wurzel{\bruch{1}{\cos^{2} t}- (sin^{2}t+cos^{2}t)}\cdot\bruch{\sin t}{\cos^{2} t}\ dt} [/mm] $
=$ [mm] \integral{\wurzel{\bruch{1}{\cos^{2} t}-sin^{2}t-cos^{2}t}\cdot\bruch{\sin t}{\cos^{2} t}\ dt} [/mm] $
Und wie hilft mir das jetzt?
Alles auf einen Nenner bringen und dann
$ [mm] \integral{\wurzel{\bruch{1}{\cos^{2} t}- \bruch{-sin^{2}t*cos^{2}t}{cos^{2}t}- \bruch{cos^{4}t}{cos^{2}t}}\cdot\bruch{\sin t}{\cos^{2} t}\ dt} [/mm] $
Vereinfacht:
$ [mm] \integral{\wurzel{\bruch{1-sin^{2}t*cos^{2}t-cos^{4}t}{\cos^{2} t}}\cdot\bruch{\sin t}{\cos^{2} t}\ dt} [/mm] $
Und was lerne ich jetzt daraus? Dass ich den Pythagoras nach [mm] cos^{2} [/mm] umstellen hätte sollen oder wie?
DAmit würde ich es aber auch nicht hinkriegen, weil ich dann etwas habe wie:
$ [mm] I=\integral{\wurzel{\bruch{1}{1-\sin^{2} t}-1}\cdot\bruch{\sin t}{\cos^{2} t}\ dt} [/mm] $
Könnte ich aber auch nicht so auflösen, wie es von Ladis schon vorgerechnet wurde.
Kann mir da mal jemand helfen?
Gruß+Danke
Johann
|
|
|
| |
|
Hallo Johann!
Da hast Du Dir leider die falsche 1 in der Wurzel "gegriffen"  ...
[mm] $\wurzel{\bruch{\red{1}}{\cos^2(t)}-1}*\bruch{\sin(t)}{\cos^2(t)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{\red{\sin^2(t)+\cos^2(t)}}{\cos^2(t)}-1}*\bruch{\sin(t)}{\cos^2(t)}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter und erhältst die oben genannte Form?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Di 25.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
[mm]\wurzel{\bruch{\red{1}}{\cos^2(t)}-1}*\bruch{\sin(t)}{\cos^2(t)} \ = \ \wurzel{\bruch{\red{\sin^2(t)+\cos^2(t)}}{\cos^2(t)}-1}*\bruch{\sin(t)}{\cos^2(t)}[/mm]
>
>
> Kommst Du nun alleine weiter und erhältst die oben genannte
> Form?
Aaah, okay, jetzt habe auch ich es verstanden und bin ebenfalls auf die Form von Ladislauradu gekommen.
Cool, dankeschön.
Grüße Johann
|
|
|
| |
|
Hallo ihr Lieben
Ich habe nochmal nachgedacht und nachgerechnet, und muss sagen, dass dieses trigonometrische Integral noch problematischer ist als das irationale.
Die vorgeschlagene Substitution ist nicht geeignet.
[mm]I=\integral{\wurzel{x^{2}-1}\ dx}[/mm]
Wir machen die substitution
[mm]x=\cosh t[/mm] (cosinus hyperbolicus)
Wir wenden folgende Formel an:
[mm]\cosh^{2}t-\sinh^{2}t=1[/mm]
und erhalten:
[mm]\wurzel{x^{2}-1}=\sinh t \qquad dx=\sinh t\ dt[/mm]
[mm]I=\integral{\sinh^{2} t\ dt}[/mm]
Es gibt hier eine Formel:
[mm]\cosh 2t=\sinh^{2}t+\cosh^{2}t[/mm]
und schließlich:
[mm]\sinh^{2}t=\bruch{1}{2}\left( \cosh 2t-1 \right)[/mm]
Wir setzen das in I ein.
[mm]I=\bruch{1}{2}\integral{\left( \cosh 2t-1\right)\ dt}=\bruch{1}{4}\sinh 2t-\bruch{1}{2}t[/mm]
Bitte bringt ihr es zu Ende!
Schöne Grüße an euch alle,
Ladis
|
|
|
| |
|
Wenn jemand die hyperbolischen Funktionen nicht kennen sollte, hier sind ihre Definitionen:
[mm]\sinh x=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}\qquad \cosh x=\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}\qquad \tanh x=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Di 25.10.2005 | | Autor: | informix |
Hallo @ all,
an dieser Diskussion kann man schön ablesen, dass die Integration von höheren Funktionen durchaus als Kunst angesehen werden kann, wogegen die Differentation geradezu als Handwerk erscheint.
(nichts gegen Handwerk(er)!, aber Kunst kommt eben von Können) ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruß informix
|
|
|
|
