Integration Zylinder direkt < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Di 20.03.2012 | | Autor: | Quinix |
| Aufgabe | Vektorfeld u(x,y,z) = cos(z) * [mm] \vektor{x \\ y \\ 0}
[/mm]
Zylinder V = { (x,y,z) : | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 9 , 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le \pi/2 [/mm] }
F sei die Randfläche von V mit äußeren Normalen n. Berechnen Sie:
I = [mm] \integral_{F}^{}{u dS} [/mm] direkt |
Hallo Leute,
ich bräuchte ein wenig Hilfe was Verständnis angeht. Also ich verstehe zwar wie man das mit dem Satz von Gauß lösen kann. Allerdings ist mir nicht ganz klar wie ich das "direkt" lösen kann.
In der Musterlösung steht das u senkrecht auf den Normalen von Grund und Deckfläche des Zylinders steht. Sodass sich das Integral so vereinfachen lässt:
I = [mm] 18*\pi \integral_{0}^{\pi/2}{cos(z) dz} [/mm]
Die 18 * [mm] \pi [/mm] kommen wahrscheinlich zustande wegen Radius = 3 und Integration von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] und 3*cos(z) bzw. den Vorfaktor 3 => [mm] 3*3*2\pi [/mm] = [mm] 18\pi
[/mm]
Allerdings verstehe ich nicht was mit dem Vektorfeld passiert, besser gesagt genauer mit diesem [mm] \vektor{x \\ y \\ 0}
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Di 20.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die äußere Normale hat doch die Richtung [mm] (x,y,0)^T [/mm] d.h. das Skalarprodukt ist [mm] cos(z)*(x^2+y^2) [/mm] jetzt [mm] x^2+y^2 [/mm] einsetzen.
vielleicht schreibst du in dein Integral besser [mm] \vec{u}*\vec{dS} [/mm] damit du dran denkst, dass das ein Skalarprodukt ist.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 20.03.2012 | | Autor: | Quinix |
Was meinst du genau mit [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] einsetzen?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Di 20.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Quinix!
Siehe in die Aufgabenstellung. Was ist doch über [mm] $x^2+y^2$ [/mm] vorgegeben?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 20.03.2012 | | Autor: | Quinix |
Naja ich weiß ja das [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 9 ist aber ich hab doch das Skalarprodukt:
cos(z) * ( [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ) also hab ich ja dann unter dem Integral:
[mm] \integral_{F}^{}{9 cos(z) dz} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 20.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Skalarprodukt uds ist [mm] cos(z)*r^2d\phidz [/mm] an jedem punkt des Zylinders!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Quinix |
Genau und wie ich vorhin geschrieben habe wäre das ja dann :
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{9 *cos(z) dz} [/mm] und zusätzlich bräuchte ich doch [mm] 2\pi [/mm] oder nicht ? also
[mm] 2\pi \integral_{0}^{\pi/2}{9 *cos(z) dz} [/mm] = 18 [mm] \pi \integral_{0}^{\pi/2}{cos(z) dz}
[/mm]
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mi 21.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig aufgeschrieben ist es:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{z_m}{r^2cos(z)dzd\phi}}
[/mm]
mit [mm] r^2=9
[/mm]
(maximales [mm] z=z_m [/mm] weiss ich grad nicht mehr.)
du hast die Integration über [mm] \phi [/mm] schon ausgeführt
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Quinix |
Danke für die Hilfe :)
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