Integration / Umformung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen die Spannung zwischen den Punkten x=a und x=2a. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie kann ich [mm] \integral_{a}^{2a}{\bruch{-x}{(x+a)^{2}} dx} [/mm] berechnen?
Bzw. ist es richtig, dass wenn ich [mm] \bruch{x}{(x+a)^{2}} [/mm] zweimal durch x dividiere = [mm] \bruch{x^{2}}{2a+a^{2}} [/mm] herauskommt?
MfG
|
|
| |
|
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen die Spannung zwischen den Punkten x=a und x=2a.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wie kann ich [mm]\integral_{a}^{2a}{\bruch{-x}{(x+a)^2} dx}[/mm]
> berechnen?
Stammfunktion ausrechnen, Grenzen einsetzen?
> Bzw. ist es richtig, dass wenn ich [mm] x/(x+a)^2
[/mm]
> zweimal durch x dividiere [mm] x^2/(2a+a^2)
[/mm]
> herauskommt?
Nee, das kannst du aber selbst überprüfen, dass bei der beschriebenen Operation
[mm] \bruch{1}{x*(x+a)^2}
[/mm]
herauskommt. Was das aber mit deiner Frage zu tun haben soll, erschließt sich mir noch nicht so ganz.
Zum Integral. Es gibt ja bei solchen Integralen oft mehrere Wege nach Rom, ich hätte dire hier einen in meinen Augen relativ eleganten. Ich vergess jetzt mal das Minuszeichen, das denkst du dir bitte selbst hinzu. Pass aber mal auf, was ich mit dem Integranden mache:
[mm] \bruch{x}{(x+a)^2}=\bruch{x+a-a}{(x+a)^2}=\bruch{x+a}{(x+a)^2}-\bruch{a}{(x+a)^2}
[/mm]
EDIT: falsche Ergänzung ausgebessert.
Jetzt lass das mal auf dich wirken, zusammen mit dem Hinweis, dass die beiden Summanden jetzt auf zwei elementare Integrale führen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ich wollte anfangs die Funktion vereinfachen, daher die Umformung. Habe nun aber gemerkt, dass es nicht so einfach geht...
Und was es mir bringt, die Funktion mit a/2 zu erweitern weiß ich leider nach 20 Minuten überlegen und hin und her immer noch nicht :/
Ist schließlich schon ein Dreivierteljahr her, dass ich was von Integration zu Gesicht bekommen habe (die letzte Vorlesung ausgenommen - nur knappe Wdh...).
Also das Integral des zweiten Summanden wäre dann doch
[mm] -\bruch{1}{2}a*\integral_{a}^{b}{(x^{2}+2ax+a^{2})^{-1} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}a* [ln(x^{2}+2ax+a^{2})]
[/mm]
oder?
Aber beim ersten Summanden weiß ich nicht, wie es gehen soll...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Do 12.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Und was es mir bringt, die Funktion mit a/2 zu erweitern
> weiß ich leider nach 20 Minuten überlegen und hin und her
> immer noch nicht :/
Sorry dafür, das war mein Fehler. Es muss a heißen, ich habe es oben ausgebessert.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Do 12.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Diophant!
Wie dem eigentlichen Fragesteller erschließt sich mir der Tipp mit dem [mm] $\pm\tfrac{a}{2}$ [/mm] nicht ganz. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Meines Erachtens geht es so "etwas" eleganter:
[mm] $\bruch{x}{(x+a)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x \ \red{+a-a}}{(x+a)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x+a}{(x+a)^2}-\bruch{a}{(x+a)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x+a}-\bruch{a}{(x+a)^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Do 12.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Loddar,
> Hallo Diophant!
>
>
> Wie dem eigentlichen Fragesteller erschließt sich mir der
> Tipp mit dem [mm]\pm\tfrac{a}{2}[/mm] nicht ganz.
>
> Meines Erachtens geht es so "etwas" eleganter:
>
> [mm]\bruch{x}{(x+a)^2} \ = \ \bruch{x \ \red{+a-a}}{(x+a)^2} \ = \ \bruch{x+a}{(x+a)^2}-\bruch{a}{(x+a)^2} \ = \ \bruch{1}{x+a}-\bruch{a}{(x+a)^2}[/mm]
>
>
Au weia, ja. Da hatte ich beim Ableiten des Nenners im Kopf irgendwie einen Hänger. Das Ziel ist ja klar: ein Vielfaches der Ableitung des Nenners im Zähler zu haben, aber wie gesagt, an der Umsetzung hat's gehakt. Ich bessere es oben noch aus.
Beste Grüße und danke für den Hinweis, Diophant
|
|
|
| |
|
Alles klar, danke euch beiden für die Tipps! Ergibt nun auch für mich endlich einen Sinn. :D
|
|
|
|
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das kannst Du durch Ableiten schnell selber feststellen / kontrollieren.
Potenzregel