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Hi, wie loest man
[mm]\integral_{0}^{\pi/6} \bruch{1+\cos 2x }{\wurzel{1-(\tan x)^2 }}\, dx [/mm]?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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> Hi, wie loest man
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> [mm]\integral_{0}^{\pi/6} \bruch{1+\cos 2x }{\wurzel{1-(\tan x)^2 }}\, dx [/mm]?
Ich weiss nicht, wie man sowas per Hand rechnet, aber Maple liefert einen ziemlich langen Ausdruck mit hübschen Wurzeln und elliptischen Integralen...
Wenn du nur das Ergebnis brauchst, dann kannst du das Integral auch numerisch berechnen: 1.009817246 ;)
Vielleicht gibt es ja Mittel der Funktionentheorie, mit denen man dieses Integral einfacher bestimmen kann?
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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Vielen Dank fuer Deine Bemuehungen, aber leider muss ich das Integral analytisch loesen, d. h. mit partieller oder Substitutionsintegration und trigonometrischen Beziehungen. Aber wie gesagt, trotzdem vielen Dank fuer die Muehe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Ähhh, aha. Jetzt hast du mich so neugierig gemacht, dass ich wohl den ganzen Tag nur noch am herumrechnen sein werde. ;)
Maple lieferte mir als Stammfunktion einen ganzseitigen Ausdruck.
Und als Wert des Integrals ergibt sich damit folgender nichtelementarer Ausdruck für das Integral I:
[mm]
\alpha := \sqrt {\left (2\,\sqrt {3}+2\,\sqrt {2}-\sqrt {2}\sqrt {3}-2\right )\left (2+\sqrt {3}\right )},\
\beta:=\sqrt {\left (2\,\sqrt {3}-2\,\sqrt {2}+\sqrt {2}\sqrt {3}-2\right )\left (2+\sqrt {3}\right )},\
\gamma:={\frac {\sqrt {2}+1}{2+\sqrt {3}}}
[/mm]
I = [mm]
{\frac{\left(3\,\sqrt{3}+2\,\sqrt{2}\sqrt{3}+6+4\,\sqrt{2}-
12\,\beta\,\alpha\,{\rm EllipticF}(\gamma,
3-2\,\sqrt{2})-12\,\beta\,\sqrt{2}\alpha\,{\rm EllipticF}(\gamma,3-2\,\sqrt{2})+24\,\beta\,\alpha\,{\rm
EllipticPi}(\gamma,-\left(3+2\,\sqrt{2}
\right)^{-1},{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}})+24\,\beta\,\sqrt{2}
\alpha\,{\rm EllipticPi}(\gamma,-\left(3+
2\,\sqrt{2}\right)^{-1},{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}})\right)
\sqrt{2}}
{8 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}}
[/mm]
Bist du dir sicher, dass du oder der Aufgabensteller keinen Schreibfehler habt?
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Bin mir sicher. Man substituiert zuerst t=tan(x), erhaelt dann einen ziemlich wirren Bruch in t, den man auch nicht integrieren kann. Dann substituiert man nochmals t=cos(u) und erhaelt wieder einen schwer zu integrierenden Bruch in u, der aber wohl mit dem "Theorem der Zerlegung rationeller Brueche" in etwas Integrierbares zerlegt werden kann. bin bis jetzt bei
[mm] \integral_{}^{} \bruch{(1+x^2)^3}{4(1+x^4)^2} \, [/mm] dx
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Hallo Steffen,
Nach einigem Ringen mit deinem Integral (auch gestern schon  )
habe ich es zu folgendem Ansatz gebracht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danach kam ich nicht mehr weiter und bemühte mein
Computeralgebrasystem, welches mir prompt die Stammfunktion
vom oberen Integral lieferte. Daraufhin habe ich von dieser
Stammfunktion die Ableitung gebildet und habe versucht den
Rechenweg meines CAS zurückzuverfolgen. Das ist dabei
rausgekommen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es ist zwar keine entgültige Lösung, aber vielleicht gibt es dir (und den
anderen hier) einige Denkanstöße zur entgültigen Lösung dieses
Integrals.
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Do 23.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Karl!
> Es ist zwar keine entgültige Lösung,
Darf ich mal blöd fragen: Warum nicht?
Du hast es doch gelöst, oder habe ich beim flüchtigen Drüberschauen eine Lücke übersehen?
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Do 23.09.2004 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Stefan,
> > Es ist zwar keine entgültige Lösung,
>
> Darf ich mal blöd fragen: Warum nicht?
>
> Du hast es doch gelöst, oder habe ich beim flüchtigen
> Drüberschauen eine Lücke übersehen?
Ich habe den ersten Teil selbst nach den üblichen Integrationsregeln gemacht, zum anderen Teil aber keine Ideen mehr gehabt. Deshalb habe ich dieses zweite Integral durch ein CAS-System integrieren lassen, dann wieder die Ableitung von dieser Stammfunktion gebildet und versucht den Lösungsweg des CAS zurückzuverfolgen. Kurz gesagt: Ich habe "geschummelt".
Viele Grüße
Karl
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