Integration Substitution < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Do 10.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | [mm] \integral {sin^2(x) * cos^3(x) dx} [/mm] |
Zunächst einmal ist mir häufig nicht klar, ob ich partielle Integration oder durch Substitution lösen muss.
Dazu muss ich sagen, dass ich das System mit der Substitution auch noch nicht verstanden habe.
Wie geh ich denn z.B. mit Substitution bei dem oberen Beispiel vor?
Mir ist klar, dass die Substitution auf der Kettenregel basiert und die partielle Integration auf der Produktregel.
Kann vllt mal an dem Beispiel oben das mir versuchen jemand nahe zu bringen?
Vielen Dank
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> [mm]\integral {sin^2(x) * cos^3(x) dx}[/mm]
> Zunächst einmal ist mir häufig nicht klar, ob ich
> partielle Integration oder durch Substitution lösen muss.
> Dazu muss ich sagen, dass ich das System mit der
> Substitution auch noch nicht verstanden habe.
>
> Wie geh ich denn z.B. mit Substitution bei dem oberen
> Beispiel vor?
>
> Mir ist klar, dass die Substitution auf der Kettenregel
> basiert und die partielle Integration auf der
> Produktregel.
>
> Kann vllt mal an dem Beispiel oben das mir versuchen jemand
> nahe zu bringen?
Híer kannst du wie folgt substituieren:
[mm] $u=u(x):=\sin^2(x)$ [/mm] Also [mm] $\green{\sin(x)=\sqrt{u}}$ [/mm] und [mm] $\blue{cos^2(x)}=1-\sin^2(x)\blue{=1-u}$
[/mm]
Dann ist [mm] $u'(x)=\frac{du}{dx}=2\sin(x)\cos(x)$, [/mm] also [mm] $\red{dx=\frac{du}{2\sin(x)\cos(x)}}$
[/mm]
Das setzen wir ein:
[mm] $\int{\sin^2(x)\cos^3(x) \ \red{dx}}=\int{\frac{\sin(x)^2(x)\cos^3(x)}{\red{2\sin(x)\cos(x)}} \ \red{du}}$
[/mm]
Nun kürzen:
[mm] $=\frac{1}{2}\int{\green{\sin(x)}\blue{\cos^2(x)} \ du}=\ldots$
[/mm]
Nun setze die farbigen Terme gem. obiger Substitution und Hinweis ein und du hast ein Integral ausschließlich in der Variablen u, dass einfach zu lösen ist.
Ganz am Ende, wenn die Stammfunktion in u steht, noch resubstituieren mit [mm] $u=\sin^2(x)$
[/mm]
>
> Vielen Dank
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Do 10.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{o}^{\pi/2}{sin^2 (3x) dx} [/mm] |
Okay im 1.Beispiel habe ich es verstanden...
In dem 2. Fall habe ich es nun mal selbst versucht:
Substitution
t=3x
t'=3
dx = du / 3
= [mm] \bruch{sin^2 (3x)}{3} [/mm] * dt
setz dann meine Variable ein
(1/3) [mm] \integral_{o}^{\pi/2}{sin(t) dt}
[/mm]
Also nun [mm] \integral_{o}^{\pi/2}{sin(t) dt} [/mm] integrieren mit partieller Integration:
= ( (1/3) (-cos(t)*sin(t) - [mm] \integral_{o}^{\pi/2}{-cos(t) * cos(t) dt} [/mm] )
= ( (1/3) (-cos(t)*sin(t) + (-sin(t)*cos(t) - [mm] \integral_{o}^{\pi/2}{-sin(t) * sin(t) dt} [/mm] )
könnte ja 2* (-cos(t)*(sin(t) schreiben...aber das Integral am Ende würde ja mein Integral vor dem Gleichzeichen auslöschen(kanns nicht besser formulieren)..
Nun komm ich nicht weiter bzw.. bin mir auch nicht sicher, dass ich nichts falsch gemacht habe..
|
|
|
| |
|
Hallo zocca,
Flüchtigkeitsfehler erschweren das Lesen...
In der Substitution kommt auf einmal $ du $ vor, und danach integrierst Du zwar $ [mm] \sin^2{(t)} [/mm] dt $, aber das Quadrat steht da nicht.
Im übrigen hilft hier nur ein zweiter Durchgang partielle Integration, aber dann wirst Du auch fertig.
Außerdem wäre die Substitution wohl nicht nötig gewesen, da es sich ja nur um einen linearen Faktor vor dem x handelt. Schaden tut sie aber auch nicht.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 10.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
Substitution
t=3x
t'=3
dx = dt / 3
= [mm] \bruch{sin^2 (3x)}{3} [/mm] * dt
setz dann meine Variable ein
(1/3) [mm] \integral_{o}^{\pi/2}{sin^2(t) dt}
[/mm]
Also nun [mm] \integral_{o}^{\pi/2}{sin^2(t) dt} [/mm] integrieren mit partieller Integration:
= ( (1/3) (-cos(t)*sin(t) - [mm] \integral_{o}^{\pi/2}{-cos(t) \cdot{} cos(t) dt}) [/mm]
Bzw.. kann ich [mm] -(cos^2(t)) [/mm] ohne partielle Integration machen?
= ( (1/3) (-cos(t)*sin(t) + (-sin(t)*cos(t) - [mm] \integral_{o}^{\pi/2}{-sin(t) \cdot{} sin(t) dt} [/mm] )
Ich hoff jetzt passt es zumindest von der Formulierung..
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
hmmm...
> Substitution
> t=3x
> t'=3
>
> dx = dt / 3
>
> = [mm]\bruch{sin^2 (3x)}{3}[/mm] * dt
>
> setz dann meine Variable ein
>
> (1/3) [mm]\integral_{o}^{\pi/2}{sin^2(t) dt}[/mm]
>
> Also nun [mm]\integral_{o}^{\pi/2}{sin^2(t) dt}[/mm] integrieren
So als Zwischenrechnung, nehme ich an, oder warum fehlt das [mm] \tfrac{1}{3} [/mm] ?
> mit partieller Integration:
>
> [mm] =\bruch{1}{3}\left(-\cos{t}*\sin{t}-\integral_{0}^{\pi/2}{\cos{t}*\cos{t}\ dt}\right) [/mm]
Ah, da ist es wieder. Ich habe mal die Klammern vergrößert, wegen der Lesbarkeit, und überhaupt ein bisschen aufgehübscht. Der Formeleditor kann mehr...
Hier sind zwei Fehler.
Nun hast du zwar die Grenzen am Integral übernommen (richtig), aber auch nur da. Das ist der erste Fehler Eigentlich muss es doch heißen:
[mm] =\bruch{1}{3}\left(\blue{\left[-\cos{t}*\sin{t}\right]_{0}^{\pi/2}}-\integral_{0}^{\pi/2}{\cos{t}*\cos{t}\ dt}\right)
[/mm]
Spätestens hier müsste auffallen, dass etwas nicht stimmen kann. Der blaue Term fällt weg (na und...), und wenn Du das Integral noch nach links bringst, dann erhältst Du eine falsche Gleichung.
Du hast nämlich - zweiter Fehler - ein Minuszeichen "geschlabbert":
[mm] \bruch{1}{3}\integral_{0}^{\pi/2} {\sin^2{t}\ dt}==\bruch{1}{3}\left(\left[-\cos{t}*\sin{t}\right]_{0}^{\pi/2}-\integral_{0}^{\pi/2}{\red{-}\cos{t}*\cos{t}\ dt}\right)
[/mm]
Ist Dir klar, wo das rote Minus herkommt?
> Bzw.. kann ich [mm]-(cos^2(t))[/mm] ohne partielle Integration
> machen?
Da der Term in der eckigen Klammer wegfällt, ist es sogar einfacher ohne partielle Integration, es genügt der "trigonometrische Pythagoras".
Und was kommt dann raus?
> = ( (1/3) (-cos(t)*sin(t) + (-sin(t)*cos(t) -
> [mm]\integral_{o}^{\pi/2}{-sin(t) \cdot{} sin(t) dt}[/mm] )
>
> Ich hoff jetzt passt es zumindest von der Formulierung..
Viel Erfolg - du bist nämlich dran.
reverend
> Vielen Dank
|
|
|
| |
|
Hallo zusammen,
wo ihr gerade so fleißig integriert, substituiert doch die Grenzen mit ...
[mm] $x=0\Rightarrow [/mm] t=3x=0$
[mm] $x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=\frac{3}{2}\pi$
[/mm]
Sonst kommt nachher womöglich noch etwas komisches heraus 
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Do 10.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
gar keine schlechte Idee.
Ich sollte aufhören, beim Telefonieren oder im Büro zu schreiben. Irgendwie werde ich dabei immer abgelenkt...
Danke fürs Mitlesen und -denken!
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Do 10.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
[mm] =\bruch{1}{3}\left(\blue{\left[-\cos{t}\cdot{}\sin{t}\right]_{0}^{\pi/2}}-\integral_{0}^{\pi/2}{\cos{t}\cdot{}\cos{t}\ dt}\right)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}\integral_{0}^{\pi/2} {\sin^2{t}\ dt}=\bruch{1}{3} -\integral_{0}^{\pi/2}{-\cos{t}\cdot{}\cos{t}\ dt}
[/mm]
Okay nun habe ich folgende Idee:
kann ich nicht das [mm] cos^2(t) [/mm] = [mm] (1-sin^2(t) [/mm] setzen?
[mm] \bruch{1}{3}\integral_{0}^{\pi/2} {\sin^2{t}\ dt}=\bruch{1}{3} \integral_{0}^{\pi/2}{\ (1-sin^2{t})\ dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}\integral_{0}^{\pi/2} {\sin^2{t}\ dt}=\bruch{1}{3} \integral_{0}^{\pi/2}{dt} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{sin^2(t))\ dt}
[/mm]
Nun zieh ich den ganz rechten Term auf die linke Seite:
[mm] \bruch{2}{3}\integral_{0}^{\pi/2} {\sin^2{t}\ dt}=\bruch{1}{3} \integral_{0}^{\pi/2}{dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}[/mm] [t][mm] _{0}^{\pi/2}
[/mm]
Dann t=3x einsetzen
und ich erhalte als Ergebnis (3/2) * [mm] \pi
[/mm]
Ich hoffe wenigstens von der Darstellung ist es nun leichter zu überblicken..
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
das ist ja der "trigonometrische Pythagoras": [mm] \sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi}=1
[/mm]
Hattest Du den Einwurf von schachuzipus gesehen?
Wenn Du über $ dx $ in den Grenzen von [mm] 0\cdots\tfrac{\pi}{2} [/mm] integrierst, dann lauten die Grenzen bei Integration über [mm]dt[/mm] wie?
Damit ist zugleich noch einmal der "blaue" Term zu überdenken...
Du bist also noch nicht fertig.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Do 10.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
Also die Grenzen von 0 bis 3/2 [mm] \pi
[/mm]
damit lautet mein letzter Term dann wohl:
= 1/2 [(-cos(t) * sin(t) + t) ] mit den oben genannten Grenzen?
Wenn ich die Grenzen mit substituiere(ist mir neu)..resubstituiere ich genau wie den Rest dann auch?
Bin gerad bisschen verwirrt vom vielen schreiben..
|
|
|
| |
|
Hi,
> Also die Grenzen von 0 bis 3/2 [mm]\pi[/mm]
Ja, genau.
> damit lautet mein letzter Term dann wohl:
>
> = 1/2 [(-cos(t) * sin(t) + t) ] mit den oben genannten
> Grenzen?
Richtig, aber Du hast das [mm] \tfrac{1}{3} [/mm] vergessen.
Insgesamt ist also
[mm] \int^{\bruch{\pi}{2}}_{0}{\sin^2{3x}\ dx}=\bruch{1}{3}\int_{0}^{\bruch{3\pi}{2}}{\sin^2{t}\ dt}=\bruch{1}{6}\left[-\cos{t}\sin{t}+t\right]_{0}^{\bruch{3\pi}{2}}=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
> Wenn ich die Grenzen mit substituiere(ist mir
> neu)
aber Pflicht!
> ...resubstituiere ich genau wie den Rest dann auch?
Ja, genauso.
> Bin gerad bisschen verwirrt vom vielen schreiben..
Ich sitze noch im Büro und bin ansonsten etwas entnervt. Da ist Mathe geradezu eine Erholung. 
Hoffentlich hat sich trotzdem kein Fehler eingeschlichen, aber wie Du siehst, ist die Qualitätskontrolle im Forum ja gut.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Do 10.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\integral {sin^2(x) * cos^3(x) dx}[/mm]
> Zunächst einmal ist mir häufig nicht klar, ob ich
> partielle Integration oder durch Substitution lösen muss.
> Dazu muss ich sagen, dass ich das System mit der
> Substitution auch noch nicht verstanden habe.
>
> Wie geh ich denn z.B. mit Substitution bei dem oberen
> Beispiel vor?
>
> Mir ist klar, dass die Substitution auf der Kettenregel
> basiert und die partielle Integration auf der
> Produktregel.
>
> Kann vllt mal an dem Beispiel oben das mir versuchen jemand
> nahe zu bringen?
benutze mal den tringonometrischen Pythagoras [mm] $\sin^2(\cdot)=1-\cos^2(\cdot)\,:$
[/mm]
[mm] $$\integral {sin^2(x) * cos^3(x) dx}=\int (1-\cos^2(x))\cos^3(x)dx=\int \cos^3(x)dx-\int \cos^5(x)dx\,.$$
[/mm]
Und [mm] $\int \cos^k(x)dx$ [/mm] kann man mit [mm] $\cos^k(\cdot)=\underbrace{\cos(\cdot)}_{u'}*\underbrace{\cos^{k-1}(\cdot)}_{=v}$ [/mm] und partieller Integration berechnen, und erhält dann (mitunter unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras) eine rekursive Formel für [mm] $\int \cos^k(x)dx\,:$
[/mm]
[mm] $$(\*)\;\;\;k\int \cos^{k}xdx=\sin(x)\cos^{k-1}(x)+(k-1)\int \cos^{k-2}xdx\,.$$
[/mm]
$$k=1:$$
[mm] $$\int cos(x)dx=\sin(x)\,.$$
[/mm]
$$k=2:$$
[mm] $$2*\int \cos^2xdx=\sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x + [mm] \int [/mm] 1dx= [mm] \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x [mm] +x\,.$$
[/mm]
$$k=3:$$
[mm] $$3*\int \cos^3xdx=\sin [/mm] x [mm] \cos^2(x)+2*\int \cos [/mm] x [mm] dx=\sin [/mm] x [mm] \cos^2 [/mm] x [mm] +2\sin x\,.$$
[/mm]
$$k=4:$$
[mm] $$4*\int \cos^4 xdx=\sin [/mm] x [mm] \cos^3 x+3*\int \cos^2xdx=\ldots$$
[/mm]
$$k=5:$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
Du siehst: Allein durch die Kenntnis einer (nicht direkt) vorhergehenden Stammfunktionen [mm] $\int \cos^{k-2}$ [/mm] kann man eine Stammfunktion [mm] $\int \cos^k$ [/mm] berechnen.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
