Integration R^n 2 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $ P := [mm] \{ (x,y,z)\in\IR| a*x^2+2*b*x*y + y^2 \le z \le1\} [/mm] $
wobei $ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $ eine positiv-definite Matrix ist. Man berechne das Volumen von P. |
Hallo,
ich weiß nicht ob man das so machen kann, wenn ja bitte ich um Hilfestellung.
[mm] $\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $ eine positiv-definite Matrix
[mm] $\Rightarrow \summe_{i=1}^{2} \summe_{j=1}^{2} c_i_j*x_i*x_j [/mm] > 0 $
Nach Calaveneri
$ Vol(P) = [mm] \integral_{\IR}{Vol(P_z) dz} [/mm] $
Mein Problem ist für [mm] $Vol(P_z) [/mm] $ das Integral auszurechnen und aufzustellen.
Kann das sein das sowas wie $ Vol(P) = 1 / ( [mm] \vmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * 3) $
herrauskommt ?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Sa 03.05.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo freshstyle,
> Sei [mm]P := \{ (x,y,z)\in\IR| a*x^2+2*b*x*y + y^2 \le z \le1\}[/mm]
>
> wobei [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] eine positiv-definite Matrix
> ist. Man berechne das Volumen von P.
Poste doch bitte die vollständige Aufgabenstellung.
Nach der Matrix zu urteilen, muß die Gleichung lauten:
[mm]a*x^{2}+\left(b+c\right)*x*y+c*y^{2}[/mm]
> Hallo,
> ich weiß nicht ob man das so machen kann, wenn ja bitte
> ich um Hilfestellung.
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] eine positiv-definite Matrix
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{2} \summe_{j=1}^{2} c_i_j*x_i*x_j > 0[/mm]
>
> Nach Calaveneri
> [mm]Vol(P) = \integral_{\IR}{Vol(P_z) dz}[/mm]
> Mein Problem ist für
> [mm]Vol(P_z)[/mm] das Integral auszurechnen und aufzustellen.
> Kann das sein das sowas wie [mm]Vol(P) = 1 / ( \vmat{ a & b \\ c & d } * 3)[/mm]
>
> herrauskommt ?
> Danke
>
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | $ P := [mm] \{ (x,y,z)\in\IR| a\cdot{}x^2+2\cdot{}b\cdot{}x\cdot{}y + d*y^2 \le z \le1\} [/mm] $ Wobei $ [mm] \pmat{ a & b \\ b & d } [/mm] $ eine positv defenite Matrix ist.
Man berechne das Volumen von P.
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Hallo,
tut mir leid der ich nicht die Fehler bemerkt habe.
Danke freshstyle
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Hallo freshstyle,
> [mm]P := \{ (x,y,z)\in\IR| a\cdot{}x^2+2\cdot{}b\cdot{}x\cdot{}y + d*y^2 \le z \le1\}[/mm]
> Wobei [mm]\pmat{ a & b \\ b & d }[/mm] eine positv defenite Matrix
> ist.
> Man berechne das Volumen von P.
>
> Hallo,
> tut mir leid der ich nicht die Fehler bemerkt habe.
So, jetzt können wir loslegen.
Das Problem, nehme ich mal an, sind die Grenzen.
Transformiere hierzu die quadratische Gleichung
[mm]a*x^{2}+2*b*x*y+d*y^{2}[/mm]
auf
[mm]\lambda_{1}*\tilde{x}^{2}+\lambda_{2}*\tilde{y}^{2}[/mm]
Dies wird erreicht, wenn von der zugehörigen Matrix
[mm]\pmat{a & b \\ b & d}[/mm]
die Eigenwerte bestimmt werden.
Die Transformation lautet dann:
[mm]\pmat{x \\ y}=T*\pmat{\tilde{x} \\ \tilde{y}}[/mm]
Dann ergibt sich V zu
[mm]V=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\integral_{a*x^{2}+2*b*x*y+d*y^{2}}^{1}{\ dz} \ dy} \ dx}=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\integral_{\lambda_{1}*\tilde{x}^{2}+\lambda_{2}*\tilde{y}^{2}}^{1}{ \vmat{T} \ dz} \ d\tilde{y}} \ d\tilde{x}}[/mm]
> Danke freshstyle
So bleiben noch die Grenzen für [mm]\tilde{y}[/mm] und [mm]\tilde{x}[/mm] zu bestimmen sowie das Integral zu berechnen.
Gruß
MathePower
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