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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 14.03.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | | Die untenstehende Fläche wird von der x-Achse und der Kurve $r = [mm] \wurzel{\varphi}$ [/mm] (Polarkoordinaten) begrenzt. Berechnen Sie in Einzelschritten die Fläche. |
Neben der Aufgabe ist der Graph der Funktion abgebildet. Dieser verläuft über die ersten beiden Quadranten. Somit müssen die Grenzen des Integrals 0 und [mm] $\pi$ [/mm] sein.
Ich hab allerdings keine Ahnung wie die Formel für eine Flächenberechnung in Polarkoordinaten ist.
Danke im vorraus!
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Hallo!
in kart. Koordinaten ist die Fläche gegeben durch:
[mm] A=\int_{x_0}^{x_1}\int_{y_0}^{y_1}1\,dx\,dy
[/mm]
Ist nun y durch die x-Achse und die Funktion f(x) begrenzt, so wird daraus:
[mm] A=\int_{x_0}^{x_1}\int_{0}^{f(x)}1\,dx\,dy=\int_{x_0}^{x_1}f(x)\,dx
[/mm]
ganz so, wie man es aus der Schule kennt.
In Polarkoordinaten wird daraus:
[mm] A=\int_{\phi_0}^{\phi_1}\int_{r_0}^{r_1}1*r\,d\phi\,dr
[/mm]
der zusätzliche Faktor r trägt der Tatsache Rechnung, daß so ein Stück [mm] $\Delta\phi\times\Delta [/mm] r$ weiter weg vom Ursprung größer ist als in der Nähe. Außerdem sorgt es dafür, daß die EInheiten stimmen, den der WInkel ist naturgemäß Einheitslos.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 14.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Puh damit kann ich wenn ich ehrlich bin noch nicht wirklich was anfangen.
Könntest du diese Formel eventuell mal explizit auf meine Aufgabe anwenden? Vielleicht verstehe ich dann wie es gemeint ist.
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> Puh damit kann ich wenn ich ehrlich bin noch nicht wirklich
> was anfangen.
> Könntest du diese Formel eventuell mal explizit auf meine
> Aufgabe anwenden? Vielleicht verstehe ich dann wie es
> gemeint ist.
$ [mm] A=\int_{\phi_0}^{\phi_1}\int_{r_0}^{r_1}1\cdot{}r\,d\phi\,dr [/mm] $
nun hier wieder begrenzt mit 0 und [mm] r(\phi):
[/mm]
$ [mm] A=\int_{\phi_0}^{\phi_1}\int_{0}^{r(\phi)}1\cdot{}r\,d\phi\,dr [/mm] $
[mm] A=0.5*\int_{\phi_0}^{\phi_1}r^2(\phi)d\phi
[/mm]
da kannst du ja nun deine funktion einsetzen, die grenzen sind richtig.. (für das erste teilstück)
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 14.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Okay ich versuch das mal.
Also $ A = 0,5 * \integral_{0}^{\pi}{(\wurzel{\varphi})^2 d\varphi} = 0,5 * \integral_{0}^{\pi}{\varphi} d\varphi} $
Daraus würde somit folgen:$ A = 0,5 * [0,5\varphi^2] $
Dann setzte ich die Grenzen ein und ich komme auf $A = 2,467 $
Ist das richtig so?
Darf ich die Formel $ A=0.5\cdot{}\int_{\phi_0}^{\phi_1}r^2(\phi)d\phi $ denn genrell immer benutzen, wenn ich die Fläche einer in Polarkoordinaten gegebenen Funktion ausrechnen möchte?
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> Okay ich versuch das mal.
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> Also [mm]A = 0,5 * \integral_{0}^{\pi}{(\wurzel{\varphi})^2 d\varphi} = 0,5 * \integral_{0}^{\pi}{\varphi} d\varphi}[/mm]
>
> Daraus würde somit folgen:[mm] A = 0,5 * [0,5\varphi^2][/mm]
> Dann
> setzte ich die Grenzen ein und ich komme auf [mm]A = 2,467[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist das richtig so?
> Darf ich die Formel
> [mm]A=0.5\cdot{}\int_{\phi_0}^{\phi_1}r^2(\phi)d\phi[/mm] denn
> genrell immer benutzen, wenn ich die Fläche einer in
> Polarkoordinaten gegebenen Funktion ausrechnen möchte?
so wie sie da steht schon ja
bedenke bei der aufgabe, dass du noch nicht fertig bist...
die aufgabe stellt ja eine spirale dar, nach 1-2 weiteren abschnitten solltest du eine allgemeine formel angeben können
gruß tee
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