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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:01 So 09.10.2005 | | Autor: | reneP |
Hallo lieber Matheraum,
da ich demnächst meine Vordiplomprüfung in Analysis habe und von einem Prof geprüft werde, dessen Vorlesung ich nicht besucht habe, habe ich ein paar Fragen zu seinem Script. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, es geht insgesammt um Integration auf Mannigfaltigkeiten und den Differentialformenkalkül.
Also zu erst Würde ich gerne mal genau wissen, wie ich eine Volumenform einer Mannigfaltigkeit bestimmen. Sehe ich das Richtig, dass die Volumenform immer eine d-Form ist, wenn die MF, d-Dimensional ist und dass die Volumenform dann eindeutig bestimmt ist?
Bisher habe ich das "gefühl", dass die Volumenform etwas mit der Gramschen Determinante zu tun hat. leider gibt es auf http://mathworld.wolfram.com/VolumeForm.html noch keinen artikel zu volumenformen, deswegen frage ich hier.
Ich weiß mittlerweile, dass die kanonische Volumenform des [mm] \mathbb{R}^n[/mm] [mm]dx_1\wedge\dots\wedge dx_n[/mm] ist, das liegt ja dann daran, weil das die einzige n form ist, auf [mm] \mathbb{R}^n
[/mm]
Wie komme ich aber z.b. zur volumenform des Torus oder der [mm]S^1[/mm] oder [mm]S^2[/mm]?
Generell ist mir klar, wie ich die Gramsche determinatne Berechne, wenn ich z.b. eine Parametrisierung der MF habe oder wenn ich karten der MF habe. Wenn also die Volumenform mit der Gramschen determinante zusammenhängt müsst ihr mir nicht erklären, wie ich die Gramsche determinante ausrechne.
Dann habe ich noch eine Frage zu Inklusionsabbildungen, in einer alten Klausur habe ich die folgende aufgabe gefunden:
Sei [mm]i : S^1\rightarrow \mathbb{R}^2[/mm] die Inklusionsabbildung und [mm]\omega_{S^1}[/mm] die kanonische Volumenform auf [mm] S^1. [/mm] Finden sie eine 1-Form [mm] $\omega$ [/mm] auf [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] mit [mm] $\omega_{S^1}=i*\omega$
[/mm]
Ok ich habe keine Ahnung, was ich mir unter der Inklusionsabbildung vorstellen soll ist das einfach die identität eingeschränkt auf [mm] $S^1$? [/mm] Im Script wird das immer als klar abgehandelt...
Als letztes habe ich noch eine Frage, das Differential einer Funktion zwischen zwei Mannigfalten ist eine Abbildung die vom Tangentialraum der einen MF in den Tangentialraum der anderen MF abbildet. Aber ich dachte auch immer dass das Differential eine 1-Form ist. Wenn das so ist, warum ist denn eine 1Form und eine Abbildung zwischen 2 Vektorräumen das gleiche? Wenn das nicht so ist, wo ist der unterschied?
So ich glaube das wars erste mal, aber ich habe die tage bestimmt noch mehr Fragen, vielen Dank schon mal im Voraus, an all die lieben Menschen, die sich die Mühe machen und hier antworten (-:
lg René
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 So 09.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also zu erst Würde ich gerne mal genau wissen, wie ich
> eine Volumenform einer Mannigfaltigkeit bestimmen.
Hmm? Was eine ist oder wie du eine bestimmst?
> Sehe ich
> das Richtig, dass die Volumenform immer eine d-Form ist,
Ja genau - eine d-Form, die (nach meinem Skript jedenfalls) die Eigenschaft hat, nirgends Null zu sein, dh in keinem Punkt p der Mgf. wird dieser auf die trivale Form im Cotangentialbündel abgebildet.
> wenn die MF, d-Dimensional ist und dass die Volumenform
> dann eindeutig bestimmt ist?
Das wäre nach meinem Skript nicht so - der Königsberger vermweidet eher den Begriff. Google ergab auch imemr wieder was leicht anderes.
> Bisher habe ich das "gefühl", dass die Volumenform etwas
> mit der Gramschen Determinante zu tun hat. leider gibt es
> auf http://mathworld.wolfram.com/VolumeForm.html noch
> keinen artikel zu volumenformen, deswegen frage ich hier.
Die Gramsche Determinante ist ja genau bzgl. Untermgf. des [m][mm] \IR^n/m] [/mm] knzipiert, Formen auf abstrakten Mgf. lösen sich ja erstmal davon.
> Ich weiß mittlerweile, dass die kanonische Volumenform des
> [mm]\mathbb{R}^n[/mm] [mm]dx_1\wedge\dots\wedge dx_n[/mm] ist, das liegt ja
> dann daran, weil das die einzige n form ist, auf
> [mm]\mathbb{R}^n[/mm]
Das sicher nicht - du kannst [mm]dx_1\wedge\dots\wedge dx_n[/mm] mit jeder (!) [m]\cal{C}^\infty[/m] Funktion multiplizieren und erhälst dann wieder eine. Diese ist blos kanonische, weil du in jedem Punkt quasi die gleiche alternierende Form nimmst.
> Wie komme ich aber z.b. zur volumenform des Torus oder der
> [mm]S^1[/mm] oder [mm]S^2[/mm]?
Zuerst: es muss keine geben (vgl. zum Bsp. mit dem Möbiusband). Für den Torus würde ich die gleiche nehmen wie für den [m]\IR^n[/m] .- denn das ist ja quasi eine lokale Sache, und da kann man ja das einz zu eins übernehmen. Für die [m]S^1[/m] bzw. [mm]S^2[/mm] bietet sich an, [m]det(x,\cdot)[/m] bzw. [m]det(x,\cdot,\cdot)[/m] zu nehmen.
> Generell ist mir klar, wie ich die Gramsche determinatne
> Berechne, wenn ich z.b. eine Parametrisierung der MF habe
> oder wenn ich karten der MF habe.
Untermgf. oder Mgf.?
> Sei [mm]i : S^1\rightarrow \mathbb{R}^2[/mm] die
> Inklusionsabbildung und [mm]\omega_{S^1}[/mm] die kanonische
> Volumenform auf [mm]S^1.[/mm] Finden sie eine 1-Form [mm]\omega[/mm] auf
> [mm]\mathbb{R}^2[/mm] mit [mm]\omega_{S^1}=i*\omega[/mm]
Was soll das i hier sein? Ist das nicht vielleicht ein [m]\iota^\star[/m]? Also der Pullback bzgl. der Inklusionsabbildung?
> Ok ich habe keine Ahnung, was ich mir unter der
> Inklusionsabbildung vorstellen soll ist das einfach die
> identität eingeschränkt auf [mm]S^1[/mm]? Im Script wird das immer
> als klar abgehandelt...
Ist es ja eigentlich auch, das ist eher Ana I/LinAlg I  . Das ist halt einfach [m]A\toB,a\mapsto a[/m], falls A eine Teilmenge von B ist.
> Als letztes habe ich noch eine Frage, das Differential
> einer Funktion zwischen zwei Mannigfalten ist eine
> Abbildung die vom Tangentialraum der einen MF in den
> Tangentialraum der anderen MF abbildet.
Ja.
> Aber ich dachte
> auch immer dass das Differential eine 1-Form ist.
Das differential einer Funktion von einer Mgf. kann man kanonisch als eine 1-Form auffassen! Denn das ist eine Abbildung vom Tangentialraum der Mgf. (im Punkt p) in dn Tangetialraum von [m]\IR[/m] - gut, das ist wider [m]\IR[/m]. Aber das ist doch eine Linearform - also genau eine 1-Form!
> Wenn das
> so ist, warum ist denn eine 1Form und eine Abbildung
> zwischen 2 Vektorräumen das gleiche? Wenn das nicht so ist,
> wo ist der unterschied?
"Gleiche": sie sind so kanonisch isomorph, das man sie nicht mehr unetrscheidet.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mo 10.10.2005 | | Autor: | reneP |
HI SEcki vielen dank erst mal für deine mühe:
also zu 1. nicht was eine volumenform ist sondern wirklich wie ich sie bestimme.
>Zuerst: es muss keine geben (vgl. zum Bsp. mit dem Möbiusband). Für den Torus würde ich die gleiche nehmen wie für den [m]\IR^n[/m] .- denn das ist ja quasi eine lokale Sache, und da kann man ja das einz zu eins übernehmen. Für die [m]S^1[/m] bzw. [mm]S^2[/mm] bietet sich an, [m]det(x,\cdot)[/m] bzw. [m]det(x,\cdot,\cdot)[/m] zu nehmen.
was ist denn x in dem fall ? ist X ein vektor der aus [mm] $dx_1 ,dx_2,...$ [/mm] besteht? bei der [mm] $S^1$ [/mm] kommt doch z.b. $x dy-ydx$ als volumenform raus. das erhalte ich wenn ich die determinante von [mm] $\vektor{x\\y}\vektor{dx\\dy}$ [/mm] berechne....
ja es war genau [m]\iota^\star[/m] also der pullback gemeint. ich habe auch nen * eingegeben der wurd enur beim techen sehr klein und jota hat er nicht angenommen beim techen. wusste nciht dass es iota sein muss :D aber die aufgabe ist mir immer noch total unklar, denn ich habe iota jetzt bestimmt so das a--> (sin(a),cos(a)) abgebildet wird, das wäre immerhin die identität und jetzt soll ich ne 1 form finden, wenn ich mit der iota zurückziehe soll dann x dy-ydx rauskommen? das macht doch überhaupt keinen sinn....
der rest der fragen hat sich mit deinen antworten oder mitlerweile durch tiefes drüber nachdenken geklärt. Das einzige was mir zur zeit halt wirklich noch total unklar ist, wie man volumenformen für Mgf berechnet. vor allem weil da auch immer noch ein kanonisch bei stehen muss fü rmich ist da gar nichts kanonisch bei!
lg René
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mo 10.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> also zu 1. nicht was eine volumenform ist sondern wirklich
> wie ich sie bestimme.
Und da gibt es nach meinem Skript halt unendlich viele.
> was ist denn x in dem fall ? ist X ein vektor der aus [mm]dx_1 ,dx_2,...[/mm]
> besteht?
Nein - ein Punkt aus der [m]S^1[/m] bzw. aus der [m]S^2[/m] ist.
> bei der [mm]S^1[/mm] kommt doch z.b. [mm]x dy-ydx[/mm] als
> volumenform raus.
Als "kanonische" ja.
> das erhalte ich wenn ich die determinante
> von [mm]\vektor{x\\y}\vektor{dx\\dy}[/mm] berechne....
Das stimmt hier - das hat aber vor allem damit zu tun, das sie auf gleichen Vektoren eben gleiche Ergebnisse erzielen. Vor allem: diese Volumenform ist ja in den [m]\IR^2[/m] eingebettet - und da kenn ich mich dann nicht mehr so aus.
> ja es war genau [m]\iota^\star[/m] also der pullback gemeint. ich
> habe auch nen * eingegeben der wurd enur beim techen sehr
> klein und jota hat er nicht angenommen beim techen. wusste
> nciht dass es iota sein muss :D aber die aufgabe ist mir
> immer noch total unklar, denn ich habe iota jetzt bestimmt
Die Inklusionsabbildung.
> so das a--> (sin(a),cos(a)) abgebildet wird, das wäre
Bitt was machst du hier?!?
> immerhin die identität und jetzt soll ich ne 1 form finden,
> wenn ich mit der iota zurückziehe soll dann x dy-ydx
> rauskommen?
So, oder so ähnlich. Einfach mal die Bedeutung des Pullbacks hinschreiben - also mit dem Differential und allem. Ich würde ja eben das oben definierte (also [m]ydx-xdy[/m]) gerade als die 1-Form auf dem [m]\IR^2[/m] wählen, die mittels Pullback gerade die kanonische Volumenform darstellen soll.
Wenn ich rechtdrüber nachdenke, sind meine obigen kanonsiche Volumenforem für die Sphären eigentlich die Formen, die mane rst mittels Inklusionsabbildung auf die Sphären zurückziehen muss. zB auf der [m]S^1[/m] ist jede 1-Form von der Form [m]a*dx[/m], da der Tangentialraum ja nur ein-dimensional ist.
> der rest der fragen hat sich mit deinen antworten oder
> mitlerweile durch tiefes drüber nachdenken geklärt. Das
> einzige was mir zur zeit halt wirklich noch total unklar
> ist, wie man volumenformen für Mgf berechnet. vor allem
> weil da auch immer noch ein kanonisch bei stehen muss fü
> rmich ist da gar nichts kanonisch bei!
Wir hatten zwar auch viel kanonisch - blos kanonische Volumenformen gab es eigentlich nicht.
SEcki
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Hi René,
vielleicht kann ich ja noch ein wenig zur Erhellung des ganzen beitragen:
also es gibt natürlich eine kanonische volumenform für riemannsche MFen (ich kürze das mal so ab) im allgemeinen und Unter-MFen des [mm] $\IR^n$ [/mm] im speziellen. Diese ist genau durch die gramsche Determinante definiert.
wenn also [mm] $F:U\to \IR^n$ [/mm] eine Unter-MF $M$ in den [mm] $\IR^n$ [/mm] abbildet, ist das kanonische Volumen so definiert:
[mm] $vol(M):=\integral_U{\wurzel{\det{g_F}}}$
[/mm]
dabei ist [mm] $g_F$ [/mm] die Gramsche Determinante bezüglich der Abb. $F$.
Warum dieses Volumen 'kanonisch' ist, ist vielleicht weniger leicht zu erklären, das musste ich auch recherchieren:
für kurven im [mm] $\IR^n$ [/mm] ist die gramsche determinante nichts anderes als das standard-linienelement, misst also die länge der kurve bezüglich der metrik des umgebenden raumes.
für flächen im [mm] $\IR^n$ [/mm] kann man so argumentieren: man startet (wie so oft) mit dem linearen Fall, d.h. linearen Unter-MFen, und verlangt lediglich, dass deren volumen als k-dimensionale Unter-MF dem Volumen entspricht, das sie nach rotation als teilmenge des [mm] $\R^k$ [/mm] haben (und genau deshalb ist dieses Volumen kanonisch!). wenn man das fordert, landet man schon bei der gramschen determinante für lineare MFen. der allgemeine nichtlineare fall ergibt sich dann durch linearisierung.
Fazit: sobald man eine metrik auf der MF hat und längen, winkel, usw. messen kann, gibt es auch eine kanonische volumenform bezüglich dieser metrik.
Viele Grüße
Matthias
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