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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Quinix |
| Aufgabe | Es sei f = [mm] \bruch{1}{x^{2} + y^{2}} [/mm] * [mm] \vektor{-y \\ x} [/mm]
für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
und G = { (x,y) : (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) }
f ist in G nicht wegunabhängig integrierbar, f ist in G also kein Potentialfeld.
Hinweiß :
Man zeige zB. dass das Integral von f über eine geeignete geschlossene Kurve nicht 0 ist. |
Hallo liebe Community,
ich habe ein wenig Probleme auf den Lösungsansatz zu kommen.
Das erste wäre, wie ich diese geschlossene Kurve bestimmen soll. Wäre eine geeignete Kurve, wenn ich einfach versuche f zu parametrisieren?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Sa 10.12.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Es sei f = [mm]\bruch{1}{x^{2} + y^{2}}[/mm] * [mm]\vektor{-y \\ x}[/mm]
> für (x,y) [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(0,0)
> und G = { (x,y) : (x,y) [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(0,0) }
>
> f ist in G nicht wegunabhängig integrierbar, f ist in G
> also kein Potentialfeld.
> Hinweiß :
> Man zeige zB. dass das Integral von f über eine geeignete
> geschlossene Kurve nicht 0 ist.
> Hallo liebe Community,
> ich habe ein wenig Probleme auf den Lösungsansatz zu
> kommen.
> Das erste wäre, wie ich diese geschlossene Kurve
> bestimmen soll.
es geht nicht um eine spezielle Kurve, Du musst nur irgendeine geschlossene Kurve finden, deren Kurvenintegral nicht verschwindet. Welche ist denn die einfachste Kurve die Dir einfällt?
> Wäre eine geeignete Kurve, wenn ich
> einfach versuche f zu parametrisieren?
f ist ein Vektorfeld und keine Kurve. Ich wüsste auch micht wie man das parametrisieren sollte...
>
> Viele Grüße
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Quinix |
Hmm wäre den der Kreis ein Kurvenintegral, was nicht verschwindet? also sprich: [mm] \gamma(t) [/mm] = ( cos(t) , sin(t) ) ?
Wie zeige ich dann , dass es nicht verschwindet?
Wäre das einfach dann das Skalarprodukt von meinem Vektorfeld mit der Ableitung meines Kurvenintegrals?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Sa 10.12.2011 | | Autor: | notinX |
> Hmm wäre den der Kreis ein Kurvenintegral, was nicht
Der Kreis ist ein Kreis und kein Kurvenintegral. Aber Du könntest es mit einem Kurvenintegral über einen Kreis versuchen 
> verschwindet? also sprich: [mm]\gamma(t)[/mm] = ( cos(t) , sin(t) )
> ?
Ob das nicht verschwindet musst Du schon selbst herausfinden.
> Wie zeige ich dann , dass es nicht verschwindet?
Indem Du es ausrechnest.
> Wäre das einfach dann das Skalarprodukt von meinem
> Vektorfeld mit der Ableitung meines Kurvenintegrals?
Versuch mal Dich in Formeln auszudrücken. Wie ist das Kurvenintegral definiert?
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Quinix |
Also das Kurvenintegral über einen Kreis wäre doch:
[mm] \gamma(t) [/mm] = ( r * cos(t) , r * sin(t) )
Nun könnte man doch mit den Grenzen: 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi
[/mm]
Schauen ob das Integral :
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(\gamma(t))*\parallel\gamma'(t)\parallel dt} \not= [/mm] 0
Sehe ich das richtig?
Viele Grüße
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Hallo Quinix,
> Also das Kurvenintegral über einen Kreis wäre doch:
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = ( r * cos(t) , r * sin(t) )
Das ist lediglich ein Funktionswert der Kurve.
>
> Nun könnte man doch mit den Grenzen: 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 2\pi[/mm]
>
> Schauen ob das Integral :
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(\gamma(t))*\parallel\gamma'(t)\parallel dt} \not=[/mm] 0
Das ist ein Oberflächenintegral. Das Kurvenintegral sieht noch ein bisschen anders aus.
[mm] $\int_\gamma [/mm] f [mm] d\gamma=\int_0^{2\pi}dt$
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Quinix |
Wieso passt jetzt eigentlich mein Kurvenintegral nicht, ich dachte die Parameterdarstellung eines Kreises wären doch :
x = r * cos(t)
y = r * sin(t)
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Sa 10.12.2011 | | Autor: | notinX |
> Wieso passt jetzt eigentlich mein Kurvenintegral nicht, ich
> dachte die Parameterdarstellung eines Kreises wären doch
> :
> x = r * cos(t)
> y = r * sin(t)
Ja das stimmt auch, aber ein Kurvenintegral ist mehr als eine Parameterdarstellung. kamaleonti hat dir sogar schon die Arbeit abgenommen und die richtige Formel hingeschrieben Du musst nur noch einsetzen und ausrechnen.
>
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Quinix |
Danke schön für die Hilfe ;D
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