Integration Kugelkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Di 08.02.2011 | | Autor: | Slint |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Masse der Halbkugel $K={(x,y,z) [mm] \in R^3:x^2+y^2+z^2 \le [/mm] 1, x [mm] \ge [/mm] 0}$, deren Dichte durch die Funktion [mm] $\rho(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ [/mm] beschrieben wird. |
Hallo,
ich habe gerade diese Aufgabe gerechnet, komme allerdings nicht auf das gewünschte Ergebnis. Hier mein Rechenweg:
Wie in der Aufgabe beschrieben handelt es sich um die Halbkugel mit dem Radius $r=1$, welche bei $x=0$ endet. Ich rechne also in Kugelkoordinaten. Dafür transformiere ich mir die Dichtefunktion und erhalte [mm] $\rho(r,\theta,\phi)=r^2$.
[/mm]
Die Masse berechne ich nun indem ich, in Kugelkoordinaten, über die Dichtefunktion [mm] $\rho(r,\theta,\phi)$ [/mm] integriere, also [mm] $M=\integral\integral\integral_{K}\rho(r,\theta,\phi) r^2\sin\theta [/mm] dr [mm] d\theta d\phi =\integral\integral\integral_{K}r^4\sin\theta [/mm] dr [mm] d\theta d\phi$.
[/mm]
Ich ordne mir das ganze und integriere:
[mm] M=\integral_{r=0}^{1} r^4 [/mm] dr [mm] \cdot \integral_{\theta=0}^{\pi} \sin\theta d\theta \cdot \integral_{\phi=-\pi/2}^{\pi/2} d\phi [/mm] = [mm] \frac15 \cdot \cos\pi \cdot \pi=\underline{\underline{-\frac15 \pi}}
[/mm]
Das Ergebnis ist offensichtlich falsch, da eine negative Masse nicht plausibel ist. Es soll [mm] $M=\frac25 \pi$ [/mm] heraus kommen. Kann bitte mir jemand zeigen wo mein Fehler ist?
Vielen Dank im Voraus,
slint
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Di 08.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Masse der Halbkugel [mm]K={(x,y,z) \in R^3:x^2+y^2+z^2 \le 1, x \ge 0}[/mm],
> deren Dichte durch die Funktion [mm]\rho(x,y,z)=x^2+y^2+z^2[/mm]
> beschrieben wird.
> Hallo,
>
> ich habe gerade diese Aufgabe gerechnet, komme allerdings
> nicht auf das gewünschte Ergebnis. Hier mein Rechenweg:
>
> Wie in der Aufgabe beschrieben handelt es sich um die
> Halbkugel mit dem Radius [mm]r=1[/mm], welche bei [mm]x=0[/mm] endet. Ich
> rechne also in Kugelkoordinaten. Dafür transformiere ich
> mir die Dichtefunktion und erhalte
> [mm]\rho(r,\theta,\phi)=r^2[/mm].
>
> Die Masse berechne ich nun indem ich, in Kugelkoordinaten,
> über die Dichtefunktion [mm]\rho(r,\theta,\phi)[/mm] integriere,
> also [mm]M=\integral\integral\integral_{K}\rho(r,\theta,\phi) r^2\sin\theta dr d\theta d\phi =\integral\integral\integral_{K}r^4\sin\theta dr d\theta d\phi[/mm].
>
> Ich ordne mir das ganze und integriere:
>
> [mm]M=\integral_{r=0}^{1} r^4[/mm] dr [mm]\cdot \integral_{\theta=0}^{\pi} \sin\theta d\theta \cdot \integral_{\phi=-\pi/2}^{\pi/2} d\phi[/mm]
> = [mm]\frac15 \cdot \cos\pi \cdot \pi=\underline{\underline{-\frac15 \pi}}[/mm]
Das Integral
[mm] \integral_{\theta=0}^{\pi} \sin\theta d\theta [/mm]
hast Du falsch berechnet !
[mm] $\integral_{\theta=0}^{\pi} \sin\theta d\theta [/mm] = [-cos [mm] \theta]^{\pi}_0= [/mm] -cos [mm] \pi-(-cos0)=1+1=2$
[/mm]
FRED
>
> Das Ergebnis ist offensichtlich falsch, da eine negative
> Masse nicht plausibel ist. Es soll [mm]M=\frac25 \pi[/mm] heraus
> kommen. Kann bitte mir jemand zeigen wo mein Fehler ist?
>
> Vielen Dank im Voraus,
> slint
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Di 08.02.2011 | | Autor: | Slint |
Vielen Dank.
Gruß,
slint
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