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Integration Gebr.Rationaler F.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Di 26.09.2006
Autor: Undead

Aufgabe
Berechnen Sie folgendes Integral mit Hilfe des Substitutionsverfahrens. Zerlegen sie den Funktionsterm dazu ggfs. mittels Polynomdivision.

[mm] \integral_{1}^{-4}{\bruch{x^{2}+3x-4}{x-2} dx} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Zunächst zerlegte ich den Funktionsterm mittels der PolynomDivision:

[mm] x^{2}+3x-4 [/mm] : x-2 = x + 5 [mm] \bruch{6}{x-2} [/mm]
-(x²-2x)
    5x-4
  -(5x-10)
       6

Die ganze Sache sah nun so aus:

[mm] \integral_{1}^{-4}{x+5+\bruch{6}{x-2} dx} [/mm]


Also versuchte ich das Substitutionsverfahren anzuwenden:

z = x-2         neue Grenzen: [mm] x_{1}=-1 x_{2}=-6 [/mm]
F(z) = 1

[mm] \integral_{-1}^{-6}{x+5+\bruch{6}{z} \bruch{dz}{1}} [/mm]

.....
So und ab hier weiss ich absolut nichtmehr weiter. Ich kann ja schlecht das übrig gebliebene x einfach substituieren. Und selbst wenn dies ginge, wüsste ich nicht wie ich die Stammfunktion von [mm] "\bruch{6}{z}" [/mm] erstellen sollte.

Ich bedanke mich schonmal im vorraus für jede Hilfe. :)

PS. Das sit nur ein Beispiel, es geht mir bei allen gebrochen-ratonalen Funktionen so, die ich integrieren muss :(

        
Bezug
Integration Gebr.Rationaler F.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Di 26.09.2006
Autor: Herby

Hallo Undead,


und herzlich [willkommenmr]



da sieht doch bisher gut aus [ok]

Außerdem kann man ja auch nicht alle Stammfunktionen kennen; jedoch diese solltest du dir merken:

[mm] \integral{\bruch{1}{x} dx}=ln|x|+C [/mm]    (für alle [mm] x\in\IR [/mm] ohne die 0 und [mm] C\in\IR) [/mm]


nun zur Substitution:


u=x-2

[mm] u'=\bruch{du}{dx}=1 [/mm]   ===>  du=dx


und das war's schon :-)


[mm] \integral{\bruch{1}{x-2} dx}=\integral{\bruch{1}{u} du}=ln|u|+C=ln|x-2|+C [/mm]

und wenn noch ein Faktor davorsteht, dann wird er einfach mitgezogen - bei deiner Aufgabe:

[mm] \integral{\bruch{6*1}{x-2}}=6*\integral{\bruch{1}{x-2}}=6*ln|x-2|+C [/mm]



Liebe Grüße
Herby
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Integration Gebr.Rationaler F.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Di 26.09.2006
Autor: Undead

Würde ausschließlich [mm] \bruch{6}{x-2} [/mm] im Integral stehen würde es so funktionieren.

Aber dort stehen ja auchnoch die x+5

Also insgesamt:
[mm] \integral_{-4}^{1}{x+5+\bruch{6}{x-2} dx} [/mm]

Und das einzelne x dort vorne bleibt ja trotz Substitution stehen.
Das hat dann zur Folge das ich den Faktor auch nicht vor das Integral ziehen kann :(

Das Ergebnis ist laut Lösung übrigens 6,75
Bezug
                
Bezug
Integration Gebr.Rationaler F.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Di 26.09.2006
Autor: Herby

Hi,

du darfst das Integral zerlegen:


> Würde ausschließlich [mm]\bruch{6}{x-2}[/mm] im Integral stehen
> würde es so funktionieren.
>  
> Aber dort stehen ja auchnoch die x+5
>  
> Also insgesamt:
>  [mm]\integral_{-4}^{1}{x+5+\bruch{6}{x-2} dx}[/mm]
>  
> Und das einzelne x dort vorne bleibt ja trotz Substitution
> stehen.
>  Das hat dann zur Folge das ich den Faktor auch nicht vor
> das Integral ziehen kann :(
>  
> Das Ergebnis ist laut Lösung übrigens 6,75

[mm] \integral_{-4}^{1}{(x+5+\bruch{6}{x-2}) dx}=\integral_{-4}^{1}{x dx}+\integral_{-4}^{1}{5 dx}+\integral_{-4}^{1}{\bruch{6}{x-2} dx} [/mm]


Liebe Grüße
Herby
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Bezug
Integration Gebr.Rationaler F.: noch was -edit-
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Di 26.09.2006
Autor: Herby

Hallo,

und beachte bitte den Bruch gesondert, in Bezug auf die Polstelle.

--- dummes Zeug, bis dahin wird ja gar nicht integriert [bonk] ---


Das Ergebnis erhalte ich auch 6,74944...


Liebe Grüße
Herby
Bezug
                                
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Integration Gebr.Rationaler F.: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:33 Di 26.09.2006
Autor: Undead

Vielen Dank für die Hilfe.
Jetzt funktioniert alles :)
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