Integration Fkt Parameterform < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Sa 06.03.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Berechnen sie ausführlich von der Kurve in Parameterdarstellung den Inhalt der Fläche, die von (einem Teil) der Kurve eingeschlossen wird.
[mm] $x(t)=t^2 [/mm] , [mm] y(t)=t-\bruch{1}{3}t^3$ [/mm] |
Also die Formel für die Integration einer Funktion in Parameterdarstellung ist [mm] $A=\integral_{t_1}^{t_2} [/mm] y(t) * [mm] x'(t)\, [/mm] dt $
Ich habe dann erst die Nullstellen ausgerechnet um die Grenzen definieren zu können. Die Nullstellen sind [mm] $t_1=0 [/mm] , [mm] t_2 [/mm] = 3 $
Folglich habe ich alles eingesetzt:
[mm] $A=\integral_{0}^{3} (t-\bruch{1}{3}t^3) [/mm] * [mm] 2t\, [/mm] dt = [mm] \integral_{0}^{3} 2t^2 -\bruch{2}{3}t^4 \, [/mm] dt$
Die Stammfunktion wäre folglich $ A = [mm] \bruch{2}{3}t^3 [/mm] - [mm] \bruch{2}{15}t^5 [/mm] $
Dann habe ich die Grenzen eingesetzt und komme auf [mm] $A=-\bruch{72}{5}$
[/mm]
Was mache ich falsch?
|
|
| |
|
> Berechnen sie ausführlich von der Kurve in
> Parameterdarstellung den Inhalt der Fläche, die von (einem
> Teil) der Kurve eingeschlossen wird.
>
> [mm]x(t)=t^2 , y(t)=t-\bruch{1}{3}t^3[/mm]
> Also die Formel für die
> Integration einer Funktion in Parameterdarstellung ist
> [mm]A=\integral_{t_1}^{t_2} y(t) * x'(t)\, dt[/mm]
ich habe eine andere formel in meiner vorlesung gefunden, bei wiki und co findet man allerdings auch nichts
edit: ach hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Sektorformel_von_Leibniz
>
> Ich habe dann erst die Nullstellen ausgerechnet um die
> Grenzen definieren zu können. Die Nullstellen sind [mm]t_1=0 , t_2 = 3[/mm]
für die zeitpunkte muss u.a gelten:
[mm] x(t_1)=x(t_2)
[/mm]
und das ist bei dir schonmal nicht der fall
>
> Folglich habe ich alles eingesetzt:
>
> [mm]A=\integral_{0}^{3} (t-\bruch{1}{3}t^3) * 2t\, dt = \integral_{0}^{3} 2t^2 -\bruch{2}{3}t^4 \, dt[/mm]
>
> Die Stammfunktion wäre folglich [mm]A = \bruch{2}{3}t^3 - \bruch{2}{15}t^5[/mm]
>
> Dann habe ich die Grenzen eingesetzt und komme auf
> [mm]A=-\bruch{72}{5}[/mm]
>
> Was mache ich falsch?
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:57 Sa 06.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Die von dir genannte Formel steht bei mir auch in meinen Unterlagen. Allerdings wusste ich einfach nicht welche von beiden ich denn jetzt benutzen muss.
Was genau berechnet man denn mit der Formel, die genutzt habe?
Leider verstehe ich das mit den Grenzen nicht so ganz. Könntest du das eventuell noch genauer erläutern? Wieso darf man nicht einfach die Nullstellen der Funktion nehmen, wie man es sonst auch immer macht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 08.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 So 07.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
Eigentlich hast du fast alles richtig gemacht...
> Also die Formel für die
> Integration einer Funktion in Parameterdarstellung ist
> [mm]A=\integral_{t_1}^{t_2} y(t) * x'(t)\, dt[/mm]
>
> Ich habe dann erst die Nullstellen ausgerechnet um die
> Grenzen definieren zu können. Die Nullstellen sind [mm]t_1=0 , t_2 = 3[/mm]
Hier ist schon der Fehler! Das sind nicht die Nullstellen! Dass sind [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] aber nicht [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2.
[/mm]
> Folglich habe ich alles eingesetzt:
>
> [mm]A=\integral_{0}^{3} (t-\bruch{1}{3}t^3) * 2t\, dt = \integral_{0}^{3} 2t^2 -\bruch{2}{3}t^4 \, dt[/mm]
>
> Die Stammfunktion wäre folglich [mm]A = \bruch{2}{3}t^3 - \bruch{2}{15}t^5[/mm]
>
> Dann habe ich die Grenzen eingesetzt und komme auf
> [mm]A=-\bruch{72}{5}[/mm]
>
> Was mache ich falsch?
Alles andere ist richtig.
Gruß,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 07.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Also jetzt bin ich total durcheinander.
Welche Formel muss ich denn jetzt nehmen?
$ [mm] A=\integral_{t_1}^{t_2} y(t)*x'(t)\, [/mm] dt $
oder
$ [mm] A=\bruch{1}{2}|\integral_{t_1}^{t_2} [/mm] x(t)*y'(t)-y(t)*x'(t) [mm] \cdot{} x'(t)\, [/mm] dt| $
Und wenn die Grenzen vom Integral nicht die Nullstellen sind, was genau sind sie dann? Also wie komme ich an [mm] $t_1$ [/mm] und [mm] $t_2$?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 07.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
Die erste Formel stimmt schon, denke ich mal. (Ich hatte das so auch irgendwo im Internet gelesen.) Wie die zweite Formel zu stande kommt, weiß ich leider nicht.
Na wie hast du die Nullstellen denn bestimmt?
Wenn du weißt dass [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=3 [/mm] ist, dann setz das einfach in die Funktion ein, und du erhälst t, also [mm] x_1=t_1^2 [/mm] und [mm] x_2=t_2^2, [/mm] damit erhälst du als Nullstellen 0 und [mm] \sqrt{3}.
[/mm]
|
|
|
|
