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Integration Beweis: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Mo 07.06.2010
Autor: Mimuu

Aufgabe
Sei f:[0,1] --> [mm] \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige: Dann gibt es ein a,b [mm] \in \IR, [/mm] sodass

f(x) = [mm] a+bx+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{f''(t)*|t-x| dt} [/mm]
für alle [mm] x\in [/mm] [0,1]

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich an die Aufgabe rangehen kann? ich habe schon mal versucht, dass Integral zu berechnen, aber das ist der falsche Weg.

        
Bezug
Integration Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Mo 07.06.2010
Autor: kevin314

Hi,

das sieht doch sehr nach Taylorentwicklung aus, nur leider stimmt das Restglied nicht ganz - vielleicht kannst Du damit was basteln?

Bezug
                
Bezug
Integration Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Mo 07.06.2010
Autor: Mimuu

Was eine Taylorentwicklung ist, weiß ich, aber ich kann jetzt keinen Bezug zu der Aufgabe herstellen.
Kannst du mir vielleicht noch ein bisschen weiterhelfen?

Bezug
                        
Bezug
Integration Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:41 Di 08.06.2010
Autor: fred97

Tipp: https://matheraum.de/read?i=690567

FRED

Bezug
        
Bezug
Integration Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 Di 08.06.2010
Autor: fred97

Setze

           [mm] $g(x)=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{f''(t)\cdot{}|t-x| dt} [/mm] $

zeige nun, dass g 2-mal differenzierbar ist und $g''=f''$ auf [0,1] ist

FRED

Bezug
                
Bezug
Integration Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Di 08.06.2010
Autor: Mimuu

wie kann ich denn ein Integral ableiten, bzw. sogar zweimal ableiten?

Bezug
                        
Bezug
Integration Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo Mimuu,

> wie kann ich denn ein Integral ableiten, bzw. sogar zweimal
> ableiten?


Da die Integrationsgrenzen nicht von x abhängig sind
ergibt sich die Ableitung zu:

[mm]g'\left(x\right)=\bruch{d}{dx}\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{f''(t)\cdot{}|t-x| dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{\bruch{d}{dx}\left( \ f''(t)\cdot{}|t-x| \ \right) \ dt}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
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