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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Di 19.01.2010 | | Autor: | s3rial_ |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\pi}{cot(x) dx} [/mm] |
Hallo,
habe wieder eine Aufgabe, wo es bei mir an einer Stelle hackt und wo ich fragen wollte, ob ich dass auch so machen darf:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cot(x) dx} =\limes_{t \rightarrow \pi} \integral_{0}^{t}{\bruch{cos(x)}{sin(x)} dx} [/mm]
Sub.: z=sin(x), z'=cos(x), [mm] dx=\bruch{dx}{cos(x)}
[/mm]
[mm] \limes_{t \rightarrow \pi} \integral_{0}^{sin(t)}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] \limes_{t \rightarrow \pi} [/mm] ln(z)//Grenzen sin(t) und 0
Dann habe ich gemerkt das nun 0 auch Kritisch ist, da habe ich folgendes gemacht.
[mm] \limes_{t \rightarrow \pi, y\rightarrow 0} [/mm] ln(z)//Grenzen sin(t) und y
[mm] \limes_{t \rightarrow \pi, y\rightarrow 0} [/mm] ln(sin(t))- ln(y)
ln(y) wird [mm] -\infty [/mm] und ln(sin(t)) nähert sich stark an [mm] \pi [/mm] also wird der sinus Null, wobei mir die Funktion dabei Kaputt geht.
2 Fragen
1. durfte ich den Limes so erweitern?
2. Ist der letzte Satz die Begründung dafür, dass die Funktion nicht konvergiert? Also wenn ich einen Ungültigen Term erreiche, konvergiert eine Funktion nicht?
danke schonmal
gruß
s3
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> [mm]\integral_{0}^{\pi}{cot(x) dx}[/mm]
> Hallo,
> habe wieder eine Aufgabe, wo es bei mir an einer Stelle
> hackt und wo ich fragen wollte, ob ich dass auch so machen
> darf:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{cot(x) dx} =\limes_{t \rightarrow \pi} \integral_{0}^{t}{\bruch{cos(x)}{sin(x)} dx}[/mm]
hier siehst du durch die schreibweise mit sin und cos, dass 0 und [mm] \pi [/mm] für den term nicht definiert sind, schreibe also dann erstmal um in
[mm] \limes_{t \rightarrow 0} \integral_{t}^{t+\pi}{\bruch{cos(x)}{sin(x)} dx}
[/mm]
irgendwann kommst du dann auf
[mm] \limes_{t \rightarrow 0} ln|z|\Big|_{sin(t)}^{sin(t+\pi)}=\limes_{t \rightarrow 0}ln|sin(t+\pi)|-ln|sin(t)|=\limes_{t \rightarrow 0}ln|-sin(t)|-ln|sin(t)|=0
[/mm]
>
> Sub.: z=sin(x), z'=cos(x), [mm]dx=\bruch{dx}{cos(x)}[/mm]
>
> [mm]\limes_{t \rightarrow \pi} \integral_{0}^{sin(t)}{\bruch{1}{z} dz}[/mm]
> = [mm]\limes_{t \rightarrow \pi}[/mm] ln(z)//Grenzen sin(t) und 0
>
> Dann habe ich gemerkt das nun 0 auch Kritisch ist, da habe
> ich folgendes gemacht.
>
> [mm]\limes_{t \rightarrow \pi, y\rightarrow 0}[/mm] ln(z)//Grenzen
> sin(t) und y
>
> [mm]\limes_{t \rightarrow \pi, y\rightarrow 0}[/mm] ln(sin(t))-
> ln(y)
>
> ln(y) wird [mm]-\infty[/mm] und ln(sin(t)) nähert sich stark an [mm]\pi[/mm]
> also wird der sinus Null, wobei mir die Funktion dabei
> Kaputt geht.
>
> 2 Fragen
> 1. durfte ich den Limes so erweitern?
ich denke, dass es bei den meisten fällen schwierig wird, beide grenzwerte in den griff zu kriegen, von daher mach das mal lieber nur mit einer variablen mit grenzwert. die andere lässt sich ja wie oben dadurch ausdrücken
> 2. Ist der letzte Satz die Begründung dafür, dass die
> Funktion nicht konvergiert? Also wenn ich einen Ungültigen
> Term erreiche, konvergiert eine Funktion nicht?
dein letzter rechenschritt zeigt ja [mm] -\infty-(-\infty)=? [/mm] nun und sowas kann halt alles sein. ob das integral dann nun existiert musst du dann schon noch näher untersuchen. und in diesem fall existiert er ja auch
>
> danke schonmal
> gruß
> s3
>
gruß tee
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