Integration - schweres Beispie < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Sa 25.03.2006 | | Autor: | illi |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{} [/mm] sin³(x) dx = ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie geht man hier vor? Ich habe schon ein paar verschiedene Lösungswege probiert, doch ich weiß noch immer nicht, wie ich hier integrieren soll?
Ich wäre sehr dankbar wenn mir einen Ansatz bzw. die nötige Vorgehensweise erklären kann.
PS:
Ich befinde mich derzeit in der 3. Schulstufe einer HTL für EDVO in Österreich (11. Schuljahr), falls es jemanden interessiert :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo illi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Dieses Integral löst man mit dem Verfahren der partiellen Integration:
[mm] $\integral{\sin^3(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\underbrace{\sin(x)}_{= \ u'}*\underbrace{\sin^2(x)}_{= \ v} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Nach dem ersten Schritt verwende dann noch den trigonometrischen Pythagoras:
[mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\sin^2(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 25.03.2006 | | Autor: | illi |
Ich danke schon mal für die Antwort.
Leider ist mein mathematisches Wissen nicht so hoch, hinzu kommt noch, dass uns unser Professor noch nichts von dieser "partiellen Integration" erklärt hat.
Kannst du mir diese anhand dieses Beispiels bitte näher erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Sa 25.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo illi
ersetze $ [mm] sin^3(x)=sin(x)*(1-cos^2(x))$ [/mm] und du siehst hoffentlich :
[mm] (cos^3(x))'=-3cos^2(x)*sinx.
[/mm]
Damit solltest dus schaffen.
Nebenbei: [mm] $sin^2 +cos^2 [/mm] = 1$ ist eine Identität, die seehhr oft hilft!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 26.03.2006 | | Autor: | illi |
Ich hab mir das jetzt nochmal angesehen, doch ich weiß leider noch immer nicht weiter.
Das Problem ist, dass wir noch fast nichts mit sin, cos.. den Kreisfunktionen gerechnet haben. Außer dass cos(x) zu -sin(x) und sin(x) zu cos(x) abgeleitet wird weiß ich leider nichts.
Speziell weil da ein * dazwischen ist.
Daher ist mir die weitere Vorgehensweise trotzdem unklar.
Wäre es ein Problem für euch wenn ihr das Beispiel durchrechnen könnt und das auch erklärt?
---
ich weiß auch gar nicht, wie ich von
$ [mm] sin^3(x)=sin(x)\cdot{}(1-cos^2(x)) [/mm] $ auf
$ [mm] (cos^3(x))'=-3cos^2(x)\cdot{}sinx. [/mm] $ komme...
naja, ein verwirrter illi...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 So 26.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo illi
> Ich hab mir das jetzt nochmal angesehen, doch ich weiß
> leider noch immer nicht weiter.
>
> Das Problem ist, dass wir noch fast nichts mit sin, cos..
> den Kreisfunktionen gerechnet haben. Außer dass cos(x) zu
> -sin(x) und sin(x) zu cos(x) abgeleitet wird weiß ich
> leider nichts.
> Speziell weil da ein * dazwischen ist.
> Daher ist mir die weitere Vorgehensweise trotzdem unklar.
>
> Wäre es ein Problem für euch wenn ihr das Beispiel
> durchrechnen könnt und das auch erklärt?
>
> ---
>
> ich weiß auch gar nicht, wie ich von
> [mm]sin^3(x)=sin(x)\cdot{}(1-cos^2(x))[/mm] auf
> [mm](cos^3(x))'=-3cos^2(x)\cdot{}sinx.[/mm] komme...
>
>Hier noch einmal Leduarts Ansatz:
ersetze $ [mm] sin^3(x)=sin(x)*(1-cos^2(x))$ [/mm] und du siehst hoffentlich :
[mm] (cos^3(x))'=-3cos^2(x)*sinx.
[/mm]
Also ist:
[mm] \integral {\sin^3 x\ dx} = \integral {\sin x\ (1-\cos^2 x)\ dx} [/mm]
[mm] \integral {\sin x\ dx} - \integral {\sin x \cdot \cos^2 x\ dx} [/mm]
Dieses 2. Integral kannst du jetzt mit Substitution berechnen oder du benutzt Leduarts Angabe: [mm] (cos^3(x))'=-3cos^2(x)*sinx. [/mm] Überprüfe die Formel aber selbst noch einmal. Die Kettenregel kennst du ja.
Denn damit gilt:
[mm] \integral {\sin x \cdot \cos^2 x\ dx} = -\bruch{1}{3}\ \cos^3 x [/mm]
So, jetzt noch alles zusammenbauen und du bist fertig.
Gruß
Sigrid
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