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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Sa 22.10.2005 | | Autor: | beta83 |
Hallo liebe Forumsmitglieder,
ich suche eine Stammfunktion von [mm] \wurzel{1-3*x^2} [/mm] dx
Das Problem ist das ich nicht weiß welchen Ansatz ich wählen muss. Klammere ich die 3 unter der Wurzel aus und ziehe sie raus so bleibt [mm] 9*\wurzel{1/3-x^2} [/mm] dx übrig. Mit der Subtitution x=1/3*sin(u) hab ich es schon versucht aber da kommt was sehr komplexes raus was nicht richtig sein kann. Es muss einen einfacheren Weg geben.
Ich wäre dankbar für jede Hilfe.
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Hi, beta,
> ich suche eine Stammfunktion von [mm]\wurzel{1-3*x^2}[/mm] dx
>
> Das Problem ist das ich nicht weiß welchen Ansatz ich
> wählen muss. Klammere ich die 3 unter der Wurzel aus und
> ziehe sie raus so bleibt [mm]9*\wurzel{1/3-x^2}[/mm] dx übrig.
Gut so! Jetzt hast Du ein sog. "Kreisintegral" vor Dir, d.h Du suchst eine Stammfunktion zu einer Funktion der Form f(x) = [mm] \wurzel{a^{2}-x^{2}}
[/mm]
Hier substituiert man x=a*sin(z) bzw. z = [mm] arcsin(\bruch{x}{a})
[/mm]
Ergebnis übrigens:
[mm] \integral{\wurzel{a^{2}-x^{2}}dx} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}*\wurzel{a^{2}-x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{a^{2}}{2}*arcsin(\bruch{x}{a}) [/mm] + c.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 So 23.10.2005 | | Autor: | beta83 |
vielen dank für deine hilfe. mein anstaz war dann doch richtig nur ich war beim ausrechnen nicht konsequent genug.
gruß beta
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Hi, beta83,
die Substitution x=a*sin(z)
ergibt mit der Formel [mm] sin^{2}+cos^{2}=1:
[/mm]
[mm] \wurzel{a^{2}-x^{2}} [/mm] = a*cos(z)
Andererseits ist dx=a*cos(z)dz
Daher erhält man für das Integral
[mm] \integral{\wurzel{a^{2}-x^{2}}dx}
[/mm]
= [mm] a^{2}*\integral{(cos(z))^{2}dz}
[/mm]
Dieses Integral wird partiell integriert und man kriegt:
[mm] \bruch{a^{2}}{2}*[sin(z)*cos(z) [/mm] + z] +c
Rücksubstitution (sin(z) = [mm] \bruch{x}{a} [/mm] und [mm] cos(z)=\bruch{1}{a}*\wurzel{a^{2}-x^{2}}) [/mm] führt zum angegebenen Ergebnis!
mfG!
Zwerglein
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