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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Tyson |
| Aufgabe | Hallo ich habe ein problem bei einer Aufgabe:
Überprüfen sie die Existenz der folgenden uneigentlichen Integrale und berechnen sie diese gegebenfalls:
[mm] \integral_{0}^{unendlich} \bruch{x}{(x+1)^3}\, [/mm] dx
Hat jemand eine Idee wie ich hier substituieren kann? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
wirklich nicht gestellt
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Hiho,
substituiere $y = [mm] (x+1)^2$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Tyson |
Ansatz:
[mm] y=(x+1)^2
[/mm]
dy= 2*(x+1)dx
Abe wie setze ich das genau ein?
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Hallo Tyson,
> Ansatz:
>
> [mm]y=(x+1)^2[/mm]
>
> dy= 2*(x+1)dx
>
> Abe wie setze ich das genau ein?
1) [mm] dx=\bruch{1}{2(x+1)}dy
[/mm]
2) [mm] x=\wurzel{y}-1
[/mm]
Jetzt Du.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Tyson |
> Hallo Tyson,
>
> > Ansatz:
> >
> > [mm]y=(x+1)^2[/mm]
> >
> > dy= 2*(x+1)dx
> >
> > Abe wie setze ich das genau ein?
>
> 1) [mm]dx=\bruch{1}{2(x+1)}dy[/mm]
>
> 2) [mm]x=\wurzel{y}-1[/mm]
>
> Jetzt Du.
>
> Grüße
> reverend
Kannst du mir bitte nur erklären kurz wie du auf das x kommst ?
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> > Hallo Tyson,
> >
> > > Ansatz:
> > >
> > > [mm]y=(x+1)^2[/mm]
> > >
> > > dy= 2*(x+1)dx
> > >
> > > Abe wie setze ich das genau ein?
> >
> > 1) [mm]dx=\bruch{1}{2(x+1)}dy[/mm]
> >
> > 2) [mm]x=\wurzel{y}-1[/mm]
> >
> > Jetzt Du.
> >
> > Grüße
> > reverend
> Kannst du mir bitte nur erklären kurz wie du auf das x
> kommst ?
Denke kurz nach.
Man setze: y = [mm] (x+1)^{2} [/mm] , nun:
y = [mm] (x+1)^{2} \gdw \wurzel{y} [/mm] = x+1 [mm] \gdw \wurzel{y}-1 [/mm] = x.
Gruß Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Tyson |
Ok als Integral hätte ich dann das stehen:
[mm] \integral_{0}^{unendlich} \bruch{\wurzel{y}-1}{2*(x+1)*y*(x+1)} \, [/mm] dx
Ich bin mir nicht ganz so sicher ob ich die Substitution richtig eingesetzt hab ,weil es steht ja im nenner ein hoch 3.
Für tipps wäre ich dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das (x+1)² im nenner kannst du wieder zu y machen. Hilft dir das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Tyson |
> Ok als Integral hätte ich dann das stehen:
>
> [mm]\integral_{0}^{unendlich} \bruch{\wurzel{y}-1}{2*(x+1)*y*(x+1)} \,[/mm]
> dx
>
>
> Ich bin mir nicht ganz so sicher ob ich die Substitution
> richtig eingesetzt hab ,weil es steht ja im nenner ein hoch
> 3.
>
> Für tipps wäre ich dankbar.
[mm] \integral_{0}^{unendlich} \bruch{\wurzel{y}-1}{2*(x+1)*y*(x+1)} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{unendlich} \bruch{\wurzel{y}-1}{2*y^2}dy
[/mm]
Aber die frage die ich mir jetzt stelle .
Wie integriere ich das ?
Das wirkt knifflig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Teufel |
Sieht nur so aus, zieh mal den Bruch auseinander und integriere beide Summanden einzeln!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Tyson |
Ansatz:
[mm] \bruch{1}{2}* \integral_{0}^{unendlich}\bruch{\wurzel{y}}{y^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{y^2} \, [/mm] dy
Wie soll ich das integrieren?
Der erste bruch ist kompliziert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Teufel |
Denke an Potenzgesetze! Und die Aufteilung des Integrales ist auch nicht ganz korrekt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Tyson |
Kann man nicht das 1/2 vor dem Integral ziehen ?
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{unendlich} y^{-3/2} -\bruch{1}{y^2} \, [/mm] dy
Oder stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Teufel |
Ah nein, ist korrekt so!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Tyson |
Das Ergebnis der Integration sieht so aus:
[mm] \bruch{1}{2}*[ [/mm] - [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{y}}+ \bruch{1}{y}]
[/mm]
Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze müsste doch als ergebnis 0 raus kommen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Teufel |
Warum sollte 0 raus kommen? Dein Graph ist doch immer über der x-Achse, also sollte was positives rauskommen!
Und der erste Summand ist falsch in deiner Stammfunktion.
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Weil im Nenner nur eine lineare Funktion steht, ist folgende Substitution naheliegend und einfach:
y = x+1 (nicht [mm] y=(x+1)^2)
[/mm]
mit
dy = dx
sowie x = y-1.
damit erhältst du sofort leicht
[mm]\integral_{0}^{\infty} \bruch{x}{(x+1)^3}\,[/mm] dx
= [mm]\integral_{1}^{\infty} \bruch{y-1}{y^3}\,[/mm] dy
= [mm]\integral_{1}^{\infty} (\bruch{y}{y^3}-\bruch{1}{y^3}),
\,[/mm] dy
= [mm]\integral_{1}^{\infty} (\bruch{1}{y^2}-\bruch{1}{y^3})\,[/mm] dy
= [mm]-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{2y^2}[/mm] von 1 bis [mm] \infty
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}
[/mm]
Durch Rücksubstitution erhältst du auch noch die Stammfunktion:
[mm]-\bruch{1}{x+1}+\bruch{1}{2(x+1)^2}[/mm]
= [mm]-\bruch{2x+1}{2(x+1)^2}[/mm]
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