Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Fr 27.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Ausdruck:
[mm] I=\integral_{\bruch{-\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)*cos^2(x)dx [/mm] |
Guten Mittag,
zwei Fragen an Euch.
[mm] I=\integral_{\bruch{-\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)*cos^2(x)dx
[/mm]
Ich wähle hier die partielle Integration. Würdet Ihr das auch machen?
[mm] \integral uv'dx=uv-\integral [/mm] u´vdx
Wähle:
[mm] u=cos^2(x)=(cos(x)^2=-2sin(x)*cos(x)
[/mm]
[mm] v'=cos(2x)=\bruch{1}{2}sin(2x)
[/mm]
Integriere zunächst unbestimmt!
[mm] =cos^{2}(x)*\bruch{1}{2}*sin(2x)-\integral -2*sin(x)*cos(x)*\bruch{1}{2}*sin(2x)dx
[/mm]
[mm] =cos^{2}(x)*\bruch{1}{2}*sin(2x)+\integral2*sin(x)*cos(x)*sin(x)*cos(x)dx
[/mm]
Macht dieser Schritt Sinn? Einfacher wird es auf jeden Fall nicht 
Wie mache ich am besten weiter?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
|
|
| |
|
Hallo mbau16,
ich würde den Integranden erstmal mit Additionstheoremen umformen.
Es ist ja [mm] \cos{(2x)}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=2\cos^2{x}-1
[/mm]
Und damit ist [mm] \cos^2{x}=\bruch{1+\cos{(2x)}}{2}
[/mm]
Dann ist der Integrand [mm] \cos{(2x)}*\cos^2{x}=\bruch{1}{2}\cos{(2x)}+\bruch{1}{2}\cos^2{(2x)}
[/mm]
Das kann man ja mühelos getrennt voneinander integrieren.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Fr 27.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo mbau16,
>
> ich würde den Integranden erstmal mit Additionstheoremen
> umformen.
>
> Es ist ja [mm]\cos{(2x)}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=2\cos^2{x}-1[/mm]
> Und damit ist [mm]\cos^2{x}=\bruch{1+\cos{(2x)}}{2}[/mm]
> Diesen Zusammenhang habe ich verstanden!
> Dann ist der Integrand
> [mm]\cos{(2x)}*\cos^2{x}=\bruch{1}{2}\cos{(2x)}+\bruch{1}{2}\cos^2{(2x)}[/mm]
Aber hier komme ich nicht mit. Könnt Ihr mal bitte nochmal Schritt für Schritt vorgehen?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
|
|
|
| |
|
Hallo mbau16,
> > Hallo mbau16,
> >
> > ich würde den Integranden erstmal mit Additionstheoremen
> > umformen.
> >
> > Es ist ja [mm]\cos{(2x)}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=2\cos^2{x}-1[/mm]
> > Und damit ist [mm]\red{\cos^2{x}=\bruch{1+\cos{(2x)}}{2}}[/mm]
>
> > Diesen Zusammenhang habe ich verstanden!
>
> > Dann ist der Integrand
> >
> [mm]\cos{(2x)}*\red{\cos^2{x}}=\bruch{1}{2}\cos{(2x)}+\bruch{1}{2}\cos^2{(2x)}[/mm]
>
> Aber hier komme ich nicht mit. Könnt Ihr mal bitte nochmal
> Schritt für Schritt vorgehen?
Da hat reverend nur den rot markierten Ausdruck eingesetzt und dann ausmultipliziert:
[mm]\cos(2x)\cdot{}\red{\cos^2(x)}=\cos(2x)\cdot{}\red{\frac{1+\cos(2x)}{2}}=\frac{1}{2}\cos(2x)\cdot{}(1+\cos(2x))=...[/mm]
>
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Fr 27.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Abend!
Zur Erinnerung- Aufgabe war es, folgenden Ausdruck zu berechnen:
[mm] \integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)*cos^{2}(x)dx
[/mm]
> > > Ich würde den Integranden erstmal mit Additionstheoremen
> > > umformen.
> > >
> > > Es ist ja [mm]\cos{(2x)}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=2\cos^2{x}-1[/mm]
> > > Und damit ist
> [mm]\red{\cos^2{x}=\bruch{1+\cos{(2x)}}{2}}[/mm]
> >
> > > Diesen Zusammenhang habe ich verstanden!
> >
> > > Dann ist der Integrand
> > >
> >
> [mm]\cos{(2x)}*\red{\cos^2{x}}=\bruch{1}{2}\cos{(2x)}+\bruch{1}{2}\cos^2{(2x)}[/mm]
> >
> > Aber hier komme ich nicht mit. Könnt Ihr mal bitte nochmal
> > Schritt für Schritt vorgehen?
>
> Da hat reverend nur den rot markierten Ausdruck eingesetzt
> und dann ausmultipliziert:
>
> [mm]\cos(2x)\cdot{}\red{\cos^2(x)}=\cos(2x)\cdot{}\red{\frac{1+\cos(2x)}{2}}=\frac{1}{2}\cos(2x)\cdot{}(1+\cos(2x))=...[/mm]
Möchte jedoch nun erstmal unbestimmt integrieren. Der erste Schritt müsste nach euren Tipps so aussehen.
[mm] =\bruch{1}{2}\integral cos(2x)dx+\bruch{1}{2}\integral cos^{2}(2x)dx
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}sin(2x)+I2
[/mm]
[mm] I2=\bruch{1}{2}\integral cos^{2}(2x)dx [/mm]
Meine Frage ist, wie komm ich am besten an die Stammfunktion? muss ich hier partiell integrieren, um an I2 zukommen?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
um an I2_ zu kommen, musst Du zweimal partiell integrieren.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 28.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Ausdruck:
[mm] I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)*cos^{2}(x)dx [/mm] |
Guten Abend,
eine Frage an Euch!
[mm] I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)*cos^{2}(x)dx
[/mm]
[mm] cos(2x)=cos^{2}x-sin^{2}x=cos^{2}(x)-(1-cos^2(x))=2cos^{2}(x)-1
[/mm]
[mm] cos(2x)=2cos^{2}(x)-1
[/mm]
[mm] \bruch{1+cos(2x)}{2}=cos^{2}(x)
[/mm]
[mm] cos(2x)*cos^{2}(x)=cos(2x)*\bruch{1+cos(2x)}{2}=\bruch{1}{2}*cos(2x)*(1+cos(2x))
[/mm]
[mm] I=\bruch{1}{2}\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)dx+\bruch{1}{2}\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}\underbrace{cos^{2}(2x)dx}_{=I2}
[/mm]
[mm] I=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}sin(2x)+\bruch{1}{2}*I2
[/mm]
[mm] I2=cos^{2}(2x)=\underbrace{cos(2x)}_{=u}*\underbrace{cos(2x)}_{=\hat v}
[/mm]
u=cos(2x)
u´=-2sin(2x)
v´=cos(2x)
[mm] v=\bruch{1}{2}sin(2x)
[/mm]
Partielle Integration: (vorerst unbestimmt)
uv´=uv- [mm] \integral [/mm] u´v dx
[mm] I2=cos(2x)*\bruch{1}{2}sin(2x)+\integral \underbrace{sin(2x)}_{=u}*\underbrace{sin(2x)}_{=\hat v} [/mm] dx
Partielle Integration: (vorerst unbestimmt)
uv´=uv- [mm] \integral [/mm] u´v dx
u=sin(2x)
u´=2*cos(2x)
v´=sin(2x)
[mm] v=-\bruch{1}{2}cos(2x)
[/mm]
[mm] I2=sin(2x)*(-\bruch{1}{2}cos(2x))-\integral 2cos(2x)*(-\bruch{1}{2}cos(2x))dx
[/mm]
Habe das Gefühl, dass ich mich im Kreis drehe! Wie mache ich hier in der partiellen Integration weiter. Bitte keine neuen Ansatz vorschlagen. Möchte die Aufgabe gerne so lösen.
Vielen Dank
Gruß
mbau16
|
|
|
| |
|
Hallo mbau16,
> Berechnen Sie folgenden Ausdruck:
>
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)*cos^{2}(x)dx[/mm]
> Guten Abend,
>
> eine Frage an Euch!
>
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)*cos^{2}(x)dx[/mm]
>
> [mm]cos(2x)=cos^{2}x-sin^{2}x=cos^{2}(x)-(1-cos^2(x))=2cos^{2}(x)-1[/mm]
>
> [mm]cos(2x)=2cos^{2}(x)-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1+cos(2x)}{2}=cos^{2}(x)[/mm]
>
> [mm]cos(2x)*cos^{2}(x)=cos(2x)*\bruch{1+cos(2x)}{2}=\bruch{1}{2}*cos(2x)*(1+cos(2x))[/mm]
>
> [mm]I=\bruch{1}{2}\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)dx+\bruch{1}{2}\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}\underbrace{cos^{2}(2x)dx}_{=I2}[/mm]
>
> [mm]I=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}sin(2x)+\bruch{1}{2}*I2[/mm]
>
> [mm]I2=cos^{2}(2x)=\underbrace{cos(2x)}_{=u}*\underbrace{cos(2x)}_{=\hat v}[/mm]
>
> u=cos(2x)
>
> u´=-2sin(2x)
>
> v´=cos(2x)
>
> [mm]v=\bruch{1}{2}sin(2x)[/mm]
>
> Partielle Integration: (vorerst unbestimmt)
>
> uv´=uv- [mm]\integral[/mm] u´v dx
>
> [mm]I2=cos(2x)*\bruch{1}{2}sin(2x)+\integral \underbrace{sin(2x)}_{=u}*\underbrace{sin(2x)}_{=\hat v}[/mm]
> dx
>
> Partielle Integration: (vorerst unbestimmt)
>
> uv´=uv- [mm]\integral[/mm] u´v dx
>
> u=sin(2x)
>
> u´=2*cos(2x)
>
> v´=sin(2x)
>
> [mm]v=-\bruch{1}{2}cos(2x)[/mm]
>
> [mm]I2=sin(2x)*(-\bruch{1}{2}cos(2x))-\integral 2cos(2x)*(-\bruch{1}{2}cos(2x))dx[/mm]
>
> Habe das Gefühl, dass ich mich im Kreis drehe! Wie mache
> ich hier in der partiellen Integration weiter. Bitte keine
> neuen Ansatz vorschlagen. Möchte die Aufgabe gerne so
> lösen.
>
Ersetze den nach der ersten partiellen Integration
auf der rechten Seite auftretenden Integranden
gemäß des trigometischen Pythagoras:
[mm]\sin^{2}\left(2x\right)=1-\cos^{2}\left(2x\right)[/mm]
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Sa 28.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Abend,
vielen Dank für diesen guten Tipp!
Gruß
mbau16
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Sa 28.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
Allen anderen Beteiligten möchte ich hier natürlich auch nochmals danken!
Gruß
mbau16
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Sa 28.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
> > Guten Abend,
> >
> > eine Frage an Euch!
> >
> >
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)*cos^{2}(x)dx[/mm]
> >
> >
> [mm]cos(2x)=cos^{2}x-sin^{2}x=cos^{2}(x)-(1-cos^2(x))=2cos^{2}(x)-1[/mm]
> >
> > [mm]cos(2x)=2cos^{2}(x)-1[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1+cos(2x)}{2}=cos^{2}(x)[/mm]
> >
> >
> [mm]cos(2x)*cos^{2}(x)=cos(2x)*\bruch{1+cos(2x)}{2}=\bruch{1}{2}*cos(2x)*(1+cos(2x))[/mm]
> >
> >
> [mm]I=\bruch{1}{2}\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)dx+\bruch{1}{2}\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}\underbrace{cos^{2}(2x)dx}_{=I2}[/mm]
> >
> > [mm]I=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}sin(2x)+\bruch{1}{2}*I2[/mm]
> >
> >
> [mm]I2=cos^{2}(2x)=\underbrace{cos(2x)}_{=u}*\underbrace{cos(2x)}_{=\hat v}[/mm]
Kann ich hier zur Vermeidung der partiellen Integration die Identität von [mm] cos^{2}(2x) [/mm] nicht in [mm] sin^{2}(2x)-1 [/mm] ändern?
> >
> > u=cos(2x)
> >
> > u´=-2sin(2x)
> >
> > v´=cos(2x)
> >
> > [mm]v=\bruch{1}{2}sin(2x)[/mm]
> >
> > Partielle Integration: (vorerst unbestimmt)
> >
> > uv´=uv- [mm]\integral[/mm] u´v dx
> >
> > [mm]I2=cos(2x)*\bruch{1}{2}sin(2x)+\integral \underbrace{sin(2x)}_{=u}*\underbrace{sin(2x)}_{=\hat v}[/mm]
> > dx
> >
> > Partielle Integration: (vorerst unbestimmt)
> >
> > uv´=uv- [mm]\integral[/mm] u´v dx
> >
> > u=sin(2x)
> >
> > u´=2*cos(2x)
> >
> > v´=sin(2x)
> >
> > [mm]v=-\bruch{1}{2}cos(2x)[/mm]
> >
> > [mm]I2=sin(2x)*(-\bruch{1}{2}cos(2x))-\integral 2cos(2x)*(-\bruch{1}{2}cos(2x))dx[/mm]
>
> >
> > Habe das Gefühl, dass ich mich im Kreis drehe! Wie mache
> > ich hier in der partiellen Integration weiter. Bitte keine
> > neuen Ansatz vorschlagen. Möchte die Aufgabe gerne so
> > lösen.
> >
>
>
> Ersetze den nach der ersten partiellen Integration
> auf der rechten Seite auftretenden Integranden
> gemäß des trigometischen Pythagoras:
>
> [mm]\sin^{2}\left(2x\right)=1-\cos^{2}\left(2x\right)[/mm]
>
>
> > Vielen Dank
> >
> > Gruß
> >
> > mbau16
|
|
|
| |
|
Hallo mbau16,
> > > Guten Abend,
> > >
> > > eine Frage an Euch!
> > >
> > >
> >
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)*cos^{2}(x)dx[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]cos(2x)=cos^{2}x-sin^{2}x=cos^{2}(x)-(1-cos^2(x))=2cos^{2}(x)-1[/mm]
> > >
> > > [mm]cos(2x)=2cos^{2}(x)-1[/mm]
> > >
> > > [mm]\bruch{1+cos(2x)}{2}=cos^{2}(x)[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]cos(2x)*cos^{2}(x)=cos(2x)*\bruch{1+cos(2x)}{2}=\bruch{1}{2}*cos(2x)*(1+cos(2x))[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]I=\bruch{1}{2}\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)dx+\bruch{1}{2}\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}\underbrace{cos^{2}(2x)dx}_{=I2}[/mm]
> > >
> > > [mm]I=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}sin(2x)+\bruch{1}{2}*I2[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]I2=cos^{2}(2x)=\underbrace{cos(2x)}_{=u}*\underbrace{cos(2x)}_{=\hat v}[/mm]
>
> Kann ich hier zur Vermeidung der partiellen Integration die
> Identität von [mm]cos^{2}(2x)[/mm] nicht in [mm]sin^{2}(2x)-1[/mm] ändern?
Nein.
Besser ist gemäß dem Additionstheorem zu ersetzen:
[mm]\cos\left(4x\right)=2*\cos^{2}´\left(2x\right)-1[/mm]
> > >
> > > u=cos(2x)
> > >
> > > u´=-2sin(2x)
> > >
> > > v´=cos(2x)
> > >
> > > [mm]v=\bruch{1}{2}sin(2x)[/mm]
> > >
> > > Partielle Integration: (vorerst unbestimmt)
> > >
> > > uv´=uv- [mm]\integral[/mm] u´v dx
> > >
> > > [mm]I2=cos(2x)*\bruch{1}{2}sin(2x)+\integral \underbrace{sin(2x)}_{=u}*\underbrace{sin(2x)}_{=\hat v}[/mm]
> > > dx
> > >
> > > Partielle Integration: (vorerst unbestimmt)
> > >
> > > uv´=uv- [mm]\integral[/mm] u´v dx
> > >
> > > u=sin(2x)
> > >
> > > u´=2*cos(2x)
> > >
> > > v´=sin(2x)
> > >
> > > [mm]v=-\bruch{1}{2}cos(2x)[/mm]
> > >
> > > [mm]I2=sin(2x)*(-\bruch{1}{2}cos(2x))-\integral 2cos(2x)*(-\bruch{1}{2}cos(2x))dx[/mm]
>
> >
> > >
> > > Habe das Gefühl, dass ich mich im Kreis drehe! Wie mache
> > > ich hier in der partiellen Integration weiter. Bitte keine
> > > neuen Ansatz vorschlagen. Möchte die Aufgabe gerne so
> > > lösen.
> > >
> >
> >
> > Ersetze den nach der ersten partiellen Integration
> > auf der rechten Seite auftretenden Integranden
> > gemäß des trigometischen Pythagoras:
> >
> > [mm]\sin^{2}\left(2x\right)=1-\cos^{2}\left(2x\right)[/mm]
> >
> >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Gruß
> > >
> > > mbau16
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:19 Sa 28.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Abend,
eine Frage an Euch!
[mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)*cos^{2}(x)dx[/mm]
[mm]cos(2x)=cos^{2}x-sin^{2}x=cos^{2}(x)-(1-cos^2(x))=2cos^{2}(x)-1[/mm]
[mm]cos(2x)=2cos^{2}(x)-1[/mm]
[mm]\bruch{1+cos(2x)}{2}=cos^{2}(x)[/mm]
[mm]cos(2x)*cos^{2}(x)=cos(2x)*\bruch{1+cos(2x)}{2}=\bruch{1}{2}*cos(2x)*(1+cos(2x))[/mm]
[mm]I=\bruch{1}{2}\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}cos(2x)dx+\bruch{1}{2}\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{4}}\underbrace{cos^{2}(2x)dx}_{=I2}[/mm]
[mm]I=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}sin(2x)+\bruch{1}{2}*I2[/mm]
[mm]I2=cos^{2}(2x)=\underbrace{cos(2x)}_{=u}*\underbrace{cos(2x)}_{=\hat v}[/mm]
Kann ich hier zur Vermeidung der partiellen Integration
die
Identität von [mm]cos^{2}(2x)[/mm] nicht in [mm]sin^{2}(2x)-1[/mm]
ändern?
Nein.
Antwort von mbau16:
Ich verstehe leider den Unterschied hierzu nicht. Hier wurde doch im Grundsatz das gleiche gemacht???. Bitte eine Erklärung!!
[mm]\sin^{2}\left(2x\right)=1-\cos^{2}\left(2x\right)[/mm]-> Siehe Antwort von MathePower ganz unten!
Besser ist gemäß dem Additionstheorem zu ersetzen:
[mm]\cos\left(4x\right)=2*\cos^{2}´\left(2x\right)-1[/mm]
Partielle Integration:
> > > > u=cos(2x)
> > > >
> > > > u´=-2sin(2x)
> > > >
> > > > v´=cos(2x)
> > > >
> > > > [mm]v=\bruch{1}{2}sin(2x)[/mm]
> > > >
> > > > Partielle Integration: (vorerst unbestimmt)
> > > >
> > > > uv´=uv- [mm]\integral[/mm] u´v dx
> > > >
> > > > [mm]I2=cos(2x)*\bruch{1}{2}sin(2x)+\integral \underbrace{sin(2x)}_{=u}*\underbrace{sin(2x)}_{=\hat v}[/mm] dx
> > > > Habe das Gefühl, dass ich mich im Kreis drehe! Wie mache
> > > > ich hier in der partiellen Integration weiter. Bitte keine
> > > > neuen Ansatz vorschlagen. Möchte die Aufgabe gerne so
> > > > lösen.
> > > >
> > >
> > >
> > > Ersetze den nach der ersten partiellen Integration
> > > auf der rechten Seite auftretenden Integranden
> > > gemäß des trigometischen Pythagoras:
> > >
> > > [mm]\sin^{2}\left(2x\right)=1-\cos^{2}\left(2x\right)[/mm]
>
> Gruss
> MathePower
[mm] I2=cos(2x)*\bruch{1}{2}sin(2x)+\integral \underbrace{sin(2x)}_{=u}*\underbrace{sin(2x)}_{=\hat v}dx
[/mm]
[mm] I2=cos(2x)*\bruch{1}{2}sin(2x)+\integral 1-cos^{2}(2x)dx
[/mm]
Verstehe auch hier leider den qualitativen Unterschied zu meiner Version nicht. Muss durch das [mm] cos^{2}(2x) [/mm] genauso partiell Integrieren???
Kann mir bitte bitte jemand den Rest bis zum einsetzen der Grenzen einmal vorrechnen. Ich verzweifel an der Aufgabe schon den ganzen Tag. Ich komme nicht weiter!!!! Ich weiß es verstößt bestimmt gegen jegliche Grundsätze des Forums sich etwas vorrechnen zu lassen, aber ich bin mit meinem Latein echt am Ende!!!
> > >
> > > > Vielen Dank
> > > >
> > > > Gruß
> > > >
> > > > mbau16
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 30.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
