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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mi 25.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Ausdruck:
[mm] I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt
[/mm]
(BETRAGSSTRICHE FEHLEN!) |
Moin,
eine Frage an Euch. Habe mich die letzten Tage mit dem Papula auf das Integrieren vorbereitet. Jetzt möchte ich eine Klausuraufgabe rechnen.
Liege ich richtig in der Annahme, dass ich hier die partielle Integration wählen muss?
Gruß
mbau16
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Hiho,
> (BETRAGSSTRICHE FEHLEN!)
Wo?
Dann mach sie doch!
> Liege ich richtig in der Annahme, dass ich hier die
> partielle Integration wählen muss?
"muss" ist etwas übertrieben. Wenn dir die Stammfunktion sofort klar ist, brauchst du es natürlich nicht.
Ist sie es aber nicht, wäre partielle Integration das Mittel deiner Wahl 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mi 25.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Berechnen Sie den Ausdruck:
>
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt[/mm]
>
Guten Tag,
kann ich, bevor ich den Ausdruck partiell integriere das - eliminieren?
[mm] I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4*t+3*\pi)*cos(2t)*dt
[/mm]
Gruß
mbau16
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Hiho,
> kann ich, bevor ich den Ausdruck partiell integriere das -
> eliminieren?
Rechenregeln für Integrale lernen!
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4*t+3*\pi)*cos(2t)*dt[/mm]
Das ist offensichtlich falsch. Wenn du das Minus in die Klammer ziehen willst, solltest du das auch korrekt machen.
Du kannst aber auch einfach, nach Rechenregel für Integrale, das Minus aus dem Integral herausziehen:
[mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt = -\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt[/mm]
und dann das Integral ohne das Minus-Zeichen berechnen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 25.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hiho,
>
> > kann ich, bevor ich den Ausdruck partiell integriere das -
> > eliminieren?
>
> Rechenregeln für Integrale lernen!
>
> > [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4*t+3*\pi)*cos(2t)*dt[/mm]
>
> Das ist offensichtlich falsch. Wenn du das Minus in die
> Klammer ziehen willst, solltest du das auch korrekt
> machen.
Danke für die schnelle Antwort. Denke es ist das einfachste das - vorzuziehen. Wie würde ich es denn korrekt machen? Hab mir gerade die Regeln nochmal angeschaut, komm nich drauf. Die Grenzen zu drehen ist auch falsch, oder?
>
> Du kannst aber auch einfach, nach Rechenregel für
> Integrale, das Minus aus dem Integral herausziehen:
>
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt = -\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt[/mm]
>
> und dann das Integral ohne das Minus-Zeichen berechnen.
>
> MFG,
> Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 25.01.2012 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt [/mm] = [mm] \integral_{\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(-4\cdot{}t+3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt=-\integral_{\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 25.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
>
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt = \integral_{\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(-4\cdot{}t+3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt=-\integral_{\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt[/mm]
>
Hallo,
wurde das - bei unteren Grenze vor dem [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] versehentlich weggelassen, oder welcher Rechenregel folgt das?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mi 25.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> >
> >
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt = \integral_{\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(-4\cdot{}t+3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt=-\integral_{\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt[/mm]
>
> >
> Hallo,
>
> wurde das - bei unteren Grenze vor dem [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm]
> versehentlich weggelassen, oder welcher Rechenregel folgt
> das?
Oh, Mist, da hab ich mich verschrieben.
Korrekt:
[mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt = \integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(-4\cdot{}t+3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt=-\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 25.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo, nochmal einige Fragen an Euch:
>
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt = \integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(-4\cdot{}t+3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt=-\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt[/mm]
Wenn ich diesen Ausdruck partiell integrieren möchte, muss ich als erstes u und v´definieren. Ist mein u der gesamte Ausdruck [mm] 4t-3\pi [/mm] und mein v´der Ausdruck cos(2t)? Wie fang ich am besten an ?. Ehrlich gesagt, bin ich überfordert mit dieser Aufgabe!
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Hallo, nochmal einige Fragen an Euch:
> >
> >
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt = \integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(-4\cdot{}t+3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt=-\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(4\cdot{}t-3\cdot{}\pi)\cdot{}cos(2t)\cdot{}dt[/mm]
>
>
> Wenn ich diesen Ausdruck partiell integrieren möchte, muss
> ich als erstes u und v´definieren. Ist mein u der gesamte
> Ausdruck [mm]4t-3\pi[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und mein v´der Ausdruck cos(2t)? Wie fang
> ich am besten an ?.
Na, das ist doch gut! Du willst das Integral, was bei der part. Integration entsteht, ja möglichst einfach haben.
Da bietet sich deine Wahl an, denn im weiteren hast du ja im entstehenden Integral den Faktor [mm]u'[/mm] - und der ist netterweise konstant!
> Ehrlich gesagt, bin ich überfordert
> mit dieser Aufgabe!
Berechne nun mit deiner Wahl: [mm]-\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}(\underbrace{4\cdot{}t-3}_{u(t)}\cdot{}\pi)\cdot{}\underbrace{cos(2t)}_{v'(t)}\cdot{}dt \ = \ - \ \left( \ \left[u(t)\cdot{}v(t)\right]_{-\tfrac{\pi}{3}}^{\pi} \ - \ \integral_{-\tfrac{\pi}{3}}^{\pi}{u'(t)\cdot{}v(t) \ dt} \ \right)[/mm]
Berechne die vorkommenden Ausdrücke ruhig einzeln in einer Nebenrechnung auf dem Schmierblatt ...
> Vielen Dank
>
>
> Gruß
>
> mbau16
>
>
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 25.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo,
nach einigen Informationen von Euch, hab ich mich jetzt mal rangetraut. Könnt Ihr mal schauen, ob es bis hierhin richtig ist?
[mm] I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt
[/mm]
Partielle Integration:
[mm] \integral uv'dt=uv-\integral [/mm] u´v dt
[mm] u=4t*3\pi
[/mm]
u'=4
v´=cos(2t)
[mm] v=\bruch{1}{2}sin(2t)
[/mm]
Ich integriere zunächst unbestimmt:
[mm] -\integral (4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2\integral [/mm] sin(2t) dt
[mm] =-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2*(-\bruch{1}{2}cos(2t)))
[/mm]
[mm] =-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))*cos(2t)))
[/mm]
Wenn das richtig ist, kann ich jetzt die Grenzen einsetzen und wie mache ich das am besten?
Vielen Dank
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Mi 25.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
>
> nach einigen Informationen von Euch, hab ich mich jetzt mal
> rangetraut. Könnt Ihr mal schauen, ob es bis hierhin
> richtig ist?
>
> [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt[/mm]
>
> Partielle Integration:
>
> [mm]\integral uv'dt=uv-\integral[/mm] u´v dt
>
> [mm]u=4t*3\pi[/mm]
Du meinst doch sicher: [mm] $u(t)=4t{\color{red}-}3\pi$
[/mm]
>
> u'=4
Damit stimmt das auch
>
> v´=cos(2t)
>
> [mm]v=\bruch{1}{2}sin(2t)[/mm]
>
> Ich integriere zunächst unbestimmt:
>
> [mm]-\integral (4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2\integral[/mm]
> sin(2t) dt
Das Minus am Anfang gilt für das gesamte Integral, nicht nur für den ersten Summanden:
[mm] $-\integral (4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt=-\left[(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2\integral \sin(2t) dt \right]$
[/mm]
>
> [mm]=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2*(-\bruch{1}{2}cos(2t)))[/mm]
Bis hierhin sieht es bis auf den Vorzeichenfehler gut aus.
>
> [mm]=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))*cos(2t)))[/mm]
Was ist jetzt passiert? Aus einem Minuszeichen kann doch nicht plötzlich ein Malzeichen werden...
>
> Wenn das richtig ist, kann ich jetzt die Grenzen einsetzen
> und wie mache ich das am besten?
Setze die obere Grenze ein und ziehe die Stammfunktion mit den unteren Grenzen eingesetzt davon ab.
>
> Vielen Dank
>
> mbau16
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mi 25.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > nach einigen Informationen von Euch, hab ich mich jetzt mal
> > rangetraut. Könnt Ihr mal schauen, ob es bis hierhin
> > richtig ist?
> >
> > [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt[/mm]
> >
> > Partielle Integration:
> >
> > [mm]\integral uv'dt=uv-\integral[/mm] u´v dt
> >
> > [mm]u=4t*3\pi[/mm]
>
> Du meinst doch sicher: [mm]u(t)=4t{\color{red}-}3\pi[/mm]
>
> >
> > u'=4
>
> Damit stimmt das auch
>
> >
> > v´=cos(2t)
> >
> > [mm]v=\bruch{1}{2}sin(2t)[/mm]
> >
> > Ich integriere zunächst unbestimmt:
> >
> > [mm]-\integral (4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2\integral[/mm]
> > sin(2t) dt
>
> Das Minus am Anfang gilt für das gesamte Integral, nicht
> nur für den ersten Summanden:
> [mm]-\integral (4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt=-\left[(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2\integral \sin(2t) dt \right][/mm]
>
> >
> >
> [mm]=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2*(-\bruch{1}{2}cos(2t)))[/mm]
>
> Bis hierhin sieht es bis auf den Vorzeichenfehler gut aus.
>
> >
> > [mm]=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))*cos(2t)))[/mm]
>
> Was ist jetzt passiert? Aus einem Minuszeichen kann doch
> nicht plötzlich ein Malzeichen werden...
>
> >
> > Wenn das richtig ist, kann ich jetzt die Grenzen einsetzen
> > und wie mache ich das am besten?
>
> Setze die obere Grenze ein und ziehe die Stammfunktion mit
> den unteren Grenzen eingesetzt davon ab.
Mein Versuch:
[mm] -\left[(4t-3\pi)*(\bruch{1}{2}*sin(2t)-(cos(2t))\right]^{\pi}_{-\bruch{\pi}{3}}
[/mm]
[mm] -\left[(4\pi-3\pi)*(\bruch{1}{2}*sin(2\pi)-(cos(2\pi))-(\bruch{4\pi}{3}-3\pi)*(\bruch{1}{2}*sin(\bruch{2\pi}{3}))-(cos(\bruch{2\pi}{3}))\right]
[/mm]
Wenn das richtig ist, wüsste ich gerne, wie ich das am schlausten vereinfache!
> > Vielen Dank
> >
> > mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mi 25.01.2012 | | Autor: | notinX |
> > Hallo,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > nach einigen Informationen von Euch, hab ich mich jetzt mal
> > > rangetraut. Könnt Ihr mal schauen, ob es bis hierhin
> > > richtig ist?
> > >
> > > [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt[/mm]
> > >
> > > Partielle Integration:
> > >
> > > [mm]\integral uv'dt=uv-\integral[/mm] u´v dt
> > >
> > > [mm]u=4t*3\pi[/mm]
> >
> > Du meinst doch sicher: [mm]u(t)=4t{\color{red}-}3\pi[/mm]
> >
> > >
> > > u'=4
> >
> > Damit stimmt das auch
> >
> > >
> > > v´=cos(2t)
> > >
> > > [mm]v=\bruch{1}{2}sin(2t)[/mm]
> > >
> > > Ich integriere zunächst unbestimmt:
> > >
> > > [mm]-\integral (4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2\integral[/mm]
> > > sin(2t) dt
> >
> > Das Minus am Anfang gilt für das gesamte Integral, nicht
> > nur für den ersten Summanden:
> > [mm]-\integral (4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt=-\left[(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2\integral \sin(2t) dt \right][/mm]
>
> >
> > >
> > >
> >
> [mm]=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2*(-\bruch{1}{2}cos(2t)))[/mm]
> >
> > Bis hierhin sieht es bis auf den Vorzeichenfehler gut aus.
> >
> > >
> > > [mm]=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))*cos(2t)))[/mm]
> >
> > Was ist jetzt passiert? Aus einem Minuszeichen kann doch
> > nicht plötzlich ein Malzeichen werden...
> >
> > >
> > > Wenn das richtig ist, kann ich jetzt die Grenzen einsetzen
> > > und wie mache ich das am besten?
> >
> > Setze die obere Grenze ein und ziehe die Stammfunktion mit
> > den unteren Grenzen eingesetzt davon ab.
>
> Mein Versuch:
>
>
> [mm]-\left[(4t-3\pi)*(\bruch{1}{2}*sin(2t)-(cos(2t))\right]^{\pi}_{-\bruch{\pi}{3}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wie kommst Du darauf? Dieses Integral: $-2\integral \sin(2t)\,\mathrm d t=\cos2t$
Wenn Du das nun zum ersten Term addierst kommt das hier raus:
$-\left[(4t-3\pi)*\bruch{1}{2}*\sin(2t)+\cos(2t)\right]^{\pi}_{-\bruch{\pi}{3}}}$
>
> [mm]-\left[(4\pi-3\pi)*(\bruch{1}{2}*sin(2\pi)-(cos(2\pi))-(\bruch{4\pi}{3}-3\pi)*(\bruch{1}{2}*sin(\bruch{2\pi}{3}))-(cos(\bruch{2\pi}{3}))\right][/mm]
>
> Wenn das richtig ist, wüsste ich gerne, wie ich das am
> schlausten vereinfache!
Überleg Dir mal, wann sin und cos Null werden bzw. 'schöne' Werte ergeben.
>
> > > Vielen Dank
> > >
> > > mbau16
>
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 25.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
> > > Hallo,
> > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > nach einigen Informationen von Euch, hab ich mich jetzt mal
> > > > rangetraut. Könnt Ihr mal schauen, ob es bis hierhin
> > > > richtig ist?
> > > >
> > > > [mm]I=\integral_{-\bruch{\pi}{3}}^{\pi}-(4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt[/mm]
> > > >
> > > > Partielle Integration:
> > > >
> > > > [mm]\integral uv'dt=uv-\integral[/mm] u´v dt
> > > >
> > > > [mm]u=4t*3\pi[/mm]
> > >
> > > Du meinst doch sicher: [mm]u(t)=4t{\color{red}-}3\pi[/mm]
> > >
> > > >
> > > > u'=4
> > >
> > > Damit stimmt das auch
> > >
> > > >
> > > > v´=cos(2t)
> > > >
> > > > [mm]v=\bruch{1}{2}sin(2t)[/mm]
> > > >
> > > > Ich integriere zunächst unbestimmt:
> > > >
> > > > [mm]-\integral (4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2\integral[/mm]
> > > > sin(2t) dt
> > >
> > > Das Minus am Anfang gilt für das gesamte Integral, nicht
> > > nur für den ersten Summanden:
> > > [mm]-\integral (4*t-3*\pi)*cos(2t)*dt=-\left[(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2\integral \sin(2t) dt \right][/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))-2*(-\bruch{1}{2}cos(2t)))[/mm]
> > >
> > > Bis hierhin sieht es bis auf den Vorzeichenfehler gut aus.
> > >
> > > >
> > > > [mm]=-(4*t-3*\pi)*(\bruch{1}{2}sin(2t))*cos(2t)))[/mm]
> > >
> > > Was ist jetzt passiert? Aus einem Minuszeichen kann doch
> > > nicht plötzlich ein Malzeichen werden...
> > >
> > > >
> > > > Wenn das richtig ist, kann ich jetzt die Grenzen einsetzen
> > > > und wie mache ich das am besten?
> > >
> > > Setze die obere Grenze ein und ziehe die Stammfunktion mit
> > > den unteren Grenzen eingesetzt davon ab.
> >
> > Mein Versuch:
> >
>
> >
> >
> [mm]-\left[(4t-3\pi)*(\bruch{1}{2}*sin(2t)-(cos(2t))\right]^{\pi}_{-\bruch{\pi}{3}}[/mm]
>
> Wie kommst Du darauf? Dieses Integral: [mm]-2\integral \sin(2t)\,\mathrm d t=\cos2t[/mm]
>
> Wenn Du das nun zum ersten Term addierst kommt das hier
> raus:
>
> [mm]-\left[(4t-3\pi)*\bruch{1}{2}*\sin(2t)+\cos(2t)\right]^{\pi}_{-\bruch{\pi}{3}}}[/mm]
>
> >
> >
> [mm]-\left[(4\pi-3\pi)*(\bruch{1}{2}*sin(2\pi)-(cos(2\pi))-(\bruch{4\pi}{3}-3\pi)*(\bruch{1}{2}*sin(\bruch{2\pi}{3}))-(cos(\bruch{2\pi}{3}))\right][/mm]
> >
> > Wenn das richtig ist, wüsste ich gerne, wie ich das am
> > schlausten vereinfache!
>
> Überleg Dir mal, wann sin und cos Null werden bzw.
> 'schöne' Werte ergeben.
Sehe ich das schonmal richtig, dass [mm] (4\pi-3\pi)*(\bruch{1}{2}*sin(2\pi)-(cos(2\pi)) [/mm] wegfällt, da es 0 ergibt?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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Hallo
betrachten wir die obere Grenze [mm] \pi
[/mm]
[mm] (4\pi-3\pi)*\bruch{1}{2}*sin(2\pi)+cos(2\pi)=\pi*\bruch{1}{2}*0+1=0+1=1
[/mm]
bedenke: [mm] cos(2\pi)=1
[/mm]
so jetzt noch die untere Grenze
Steffi
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