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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 05.06.2011 | | Autor: | al3pou |
Also ich muss die Funktion
[mm] \integral \bruch{e^{2x}}{e^{x}+1}dx
[/mm]
integrieren. Das einzige was mir dazu einfällt, ich führe erstmal eine Polynomdivison durch. Dann hätte ich:
[mm] \integral e^{x} [/mm] + 1 + [mm] \bruch{1}{e^{x}+1}
[/mm]
Das könnte ich jetzt ganz einfach integrieren, aber kann man das überhaupt so machen? Wenn nicht, wie dann? Diese Aufgabe fällt eigentlich unter das Thema Substitution.
LG
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> Also ich muss die Funktion
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> [mm]\integral \bruch{e^{2x}}{e^{x}+1}dx[/mm]
>
> integrieren. Das einzige was mir dazu einfällt, ich führe
> erstmal eine Polynomdivison durch. Dann hätte ich:
>
> [mm]\integral e^{x}[/mm] + 1 + [mm]\bruch{1}{e^{x}+1}[/mm]
hier muss stehen [mm] e^x-1+..
[/mm]
danach die substitution [mm] e^x+1=u [/mm] durchführen
wenn der tipp nicht reicht, siehe hier:
https://matheraum.de/read?t=798283
gruß tee
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> Das könnte ich jetzt ganz einfach integrieren, aber kann
> man das überhaupt so machen? Wenn nicht, wie dann? Diese
> Aufgabe fällt eigentlich unter das Thema Substitution.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 05.06.2011 | | Autor: | al3pou |
Okay also ich hoffe mal ich hab das so richtig verstanden.
erstmal substituiere ich
t = [mm] e^{x} [/mm] + 1
daraus folgt
[mm] e^{x} [/mm] = t - 1
und
dx = [mm] \bruch{dt}{e^{x}}
[/mm]
Nach dem ich eine Polynomdivison durch geführt habe
[mm] \integral{e^{x} - 1 + \bruch{1}{e^{x}+1} dx}
[/mm]
substituiere ich
[mm] \integral{t - 2 + \bruch{1}{t} * \bruch{1}{t-1} dt}
[/mm]
dann kann ich das auseinander ziehen
[mm] \integral{t - 2 dt} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{1}{t} * \bruch{1}{t-1} dt}
[/mm]
den ersten Teil kann ich ganz einfach integrieren und für den zweiten benutze ich eine Partialbruchzerlegung
= [mm] 0,5t^{2} [/mm] - 2t + [mm] \integral{-\bruch{1}{t} + \bruch{1}{t-1} dt}
[/mm]
wenn ich jetzt das zweite Integral auflöse, dann kommt doch raus als Stammfunktion
= [mm] 0,5t^{2} [/mm] - 2t + ln(t) + ln(t-1)
jetzt müsste ich doch nurnoch rücksubstituieren oder?
LG
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Hallo al3pou,
> Okay also ich hoffe mal ich hab das so richtig verstanden.
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> erstmal substituiere ich
>
> t = [mm]e^{x}[/mm] + 1
>
> daraus folgt
>
> [mm]e^{x}[/mm] = t - 1
>
> und
>
> dx = [mm]\bruch{dt}{e^{x}}[/mm]
>
> Nach dem ich eine Polynomdivison durch geführt habe
>
> [mm]\integral{e^{x} - 1 + \bruch{1}{e^{x}+1} dx}[/mm]
>
> substituiere ich
>
> [mm]\integral{t - 2 + \bruch{1}{t} * \bruch{1}{t-1} dt}[/mm]
Hier müssen ein paar Klammern um den Integranden gesetzt werden:
[mm]\integral{\left\red{(}t - 2 + \bruch{1}{t}\right\red{)} * \bruch{1}{t-1} dt}[/mm]
>
> dann kann ich das auseinander ziehen
>
> [mm]\integral{t - 2 dt}[/mm] + [mm]\integral{\bruch{1}{t} * \bruch{1}{t-1} dt}[/mm]
>
> den ersten Teil kann ich ganz einfach integrieren und für
> den zweiten benutze ich eine Partialbruchzerlegung
>
> = [mm]0,5t^{2}[/mm] - 2t + [mm]\integral{-\bruch{1}{t} + \bruch{1}{t-1} dt}[/mm]
>
> wenn ich jetzt das zweite Integral auflöse, dann kommt
> doch raus als Stammfunktion
>
> = [mm]0,5t^{2}[/mm] - 2t + ln(t) + ln(t-1)
>
> jetzt müsste ich doch nurnoch rücksubstituieren oder?
>
> LG
Gruss
MathePower
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