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Integration: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Fr 13.11.2009
Autor: daisy23

Aufgabe
Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{[\integral_{y}^{1}{\bruch{sinx}{x}dx }] dy} [/mm]

Hallo!

Ich brauche dringend einen Tipp, wie ich den Funktion [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] integrieren kann.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Integration: Reihendarstellung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Fr 13.11.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Daisy!


Verwende die []Reihendarstellung der Sinusfunktion.


Gruß vom
Roadrunner


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Integration: Stammfunktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Fr 13.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{[\integral_{y}^{1}{\bruch{sinx}{x}dx }] dy}[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Ich brauche dringend einen Tipp, wie ich den Funktion
> [mm]\bruch{sinx}{x}[/mm] integrieren kann.


Hi Daisy,

wie Roadrunner schon gesagt hat: man braucht eine
Reihendarstellung, da sich dieses Integral nicht mittels
Integrationsregeln vereinfachen und berechnen lässt.
Das Integral ist aber so wichtig, dass die dazu gehörige
Stammfunktion trotzdem einen eigenen Namen erhalten
hat:
             []Integralsinus

LG    Al-Chw.


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Integration: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Fr 13.11.2009
Autor: daisy23

Erstmal danke für die Tipps, aber ich komme mit dieser Integration immer noch nicht klar. Wie soll ich mit Integralsinus umgehen, ist mir irgendwie unklar.

Bezug
                
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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Fr 13.11.2009
Autor: Denny22

Hallo,

also die Idee ist wie folgt:

[mm] $\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{1}\frac{\sin(x)}{x}dx\right]dy=\int_{0}^{1}Si(1)-Si(y)dy=Si(1)-\int_{0}^{1}Si(y)dy=Si(1)-\left[y\cdot Si(y)+\cos(y)\right]_{0}^{1}=1-\cos(1)$ [/mm]

Du benoetigst nun sowohl fuer die Berechnung des inneren Integrals ($Si(y)$ Integralsinus) als auch zur Berechnung des aeusseren Integrals (d.h. zur Bildung der Stammfunktion des Integralsinus) die Potenzreihendarstellung der Sinusfunktion. Versuch es einmal und meld Dich wenn es nicht mehr weiter geht.

Gruss
Denny

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Integration: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Fr 13.11.2009
Autor: daisy23

Danke Denny22 für deine Hilfe:)

Ich habe nun das Ganze bis zum dritten Gleichheitszeichen verstanden.
Meine Frage ist nun wie man auf
[mm] \integral_{0}^{1}{Si(y)dy}=[y*Si(y)+cos(y)] [/mm]
kommt.

Ich habe mir überlegt, es gilt doch
[mm] \integral{Si(y)dy}=\integral{\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}*y^{2i+1}}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}\integral{y^{2i+1}dy}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}*[\bruch{1}{2i+2}*y^{2i+2}] [/mm]
und weiter komme ich nicht.

Bezug
                                
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Fr 13.11.2009
Autor: Denny22


> Danke Denny22 für deine Hilfe:)
>  
> Ich habe nun das Ganze bis zum dritten Gleichheitszeichen
> verstanden.
>  Meine Frage ist nun wie man auf
>  [mm]\integral_{0}^{1}{Si(y)dy}=[y*Si(y)+cos(y)][/mm]
>  kommt.
>  
> Ich habe mir überlegt, es gilt doch
>  
> [mm]\integral{Si(y)dy}=\integral{\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}*y^{2i+1}}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}\integral{y^{2i+1}dy}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}*[\bruch{1}{2i+2}*y^{2i+2}][/mm]
>  und weiter komme ich nicht.

Hallo,

das ist nicht so schwierig. Zeige dazu, dass die von mir angegebene Stammfunktion abgeleitet nach $y$ gerade dem Integraten (Integralsinus) entspricht:

  [mm] $\frac{d}{dy}\left[y\cdot Si(y)+\cos(y)\right]$ [/mm]
[mm] $=Si(y)+y\cdot\frac{d}{dy}Si(y)-\sin(y)$ [/mm] (wegen Produktregel)
[mm] $=Si(y)+y\cdot\frac{d}{dy}\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}y^{2k+1}\right]-\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1}\right]$ [/mm] (Reihendarstellung von [mm] $\sin$ [/mm] und $Si$)
[mm] $=Si(y)+y\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{(-1)^k}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}\cdot\frac{d}{dy}y^{2k+1}\right]-\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1}\right]$ [/mm] (komp. Differentiation, da Reihe abs. konvergent)
[mm] $=Si(y)+y\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{(-1)^k\cdot(2k+1)}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}y^{2k}\right]-\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1}\right]$ [/mm] (Ableitung Ausrechnen)
[mm] $=Si(y)+\underbrace{\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1}\right]-\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1}\right]}_{=0}$ [/mm] ($y$ in die Summe multiplizieren)
$=Si(y)$

Das war's. Schönes Wochenende.

Gruß
Denny


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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Fr 13.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


>  Meine Frage ist nun wie man auf
>  [mm]\integral{Si(y)dy}=[y*Si(y)+cos(y)][/mm]
>  kommt.


Ganz einfach, durch partielle Integration:

[mm] $\integral{Si(y)dy}=\integral{1*Si(y)\,dy}=y*Si(y)-\integral y*\underbrace{(Si(y)')}_{\frac{sin(y)}{y}}\,dy=y*Si(y)-\integral sin(y)\,dy=y*Si(y)+cos(y)$ [/mm]


LG    Al-Chw.


            

Bezug
        
Bezug
Integration: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 So 15.11.2009
Autor: daisy23

Erstmal danke an alle die mir bei dieser Aufgabe geholfen haben.

Nun habe ich eine Idee,wie ich diese Aufgabe anders lösen kann; und möchte wissen, ob mein Lösungsvorschlag korrekt ist.
Ich ändere den Integrationsreihenfolge,also
[mm] \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x}{ \bruch{sinx}{x}dy})dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx}=\integral_{0}^{1}{sinx dx}=[-cosx]=-cos(1)+cos(0)=1-cos(1). [/mm]

Ich bin mir aber nicht sicher, ob man ohne weiteres die Integrationsgrenzen ändern kann.

liebe grüße


Bezug
                
Bezug
Integration: super
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 So 15.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Erstmal danke an alle die mir bei dieser Aufgabe geholfen
> haben.
>  
> Nun habe ich eine Idee,wie ich diese Aufgabe anders lösen
> kann; und möchte wissen, ob mein Lösungsvorschlag korrekt
> ist.
>  Ich ändere den Integrationsreihenfolge,also
>  [mm]\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x}{ \bruch{sinx}{x}dy})dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x}\red{*x}\, dx}=\integral_{0}^{1}{sinx dx}=[-cosx]=-cos(1)+cos(0)=1-cos(1).[/mm]
>  
> Ich bin mir aber nicht sicher, ob man ohne weiteres die
> Integrationsgrenzen ändern kann.
>  
> liebe grüße


Hallo Daisy,

das ist tatsächlich richtig ! Und man fragt sich mal
wieder, warum das keiner von uns gemerkt hat !

Nur beim Aufschreiben ist dir ein kleiner Lapsus
passiert (ich hab den fehlenden Faktor x
noch reingesetzt).

LG    Al-Chw.

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