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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 So 01.02.2009 | | Autor: | milox |
| Aufgabe | | Lösen Sie die folgende Differentialgleichung 1. Ordnung mit Hilfe einer geeignete Substitution. |
Also ich bin schon den ganzen Tag am lernen und langsam scheine ich
nachzulassen. Ich habe folgendes Problem:
Dies ist meine Ausgangsgleichung
[mm] x^{2}y'=\bruch{1}{4}x^{2}+y^{2}
[/mm]
Wenn ich das ganze nach y' auflöse, dann erhalte ich folgende Gleichung
[mm] y'=\bruch{1}{4}+(\bruch{y}{x})^{2}
[/mm]
Ne geeignete Substitution ist hier [mm] u=\bruch{y}{x}
[/mm]
Nach der ganzen Substitution und dem Gleichsetzen erhalte ich schließlich folgende Funktion, die ich aufleiten muss:
[mm] \bruch{1}{x}dx=\bruch{1}{u^{2}-u+\bruch{1}{4}}du
[/mm]
Ich kriege es einfach nicht gebacken die rechte Seite aufzuleiten...
Also es müsste nach meiner Kentniss auf jeden Fall etwas mit ln rauskommen aber egal wie ich es auch probiere...es klappt nicht.
Hoffe mir kann jemand einen Tipp geben, mit dem meinen roten Faden wieder finde.
mfg
milox
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Guten Abend
also die Substitution [mm] u=\bruch{y}{x} [/mm] ist richtig. Dann bekommst du raus [mm] $u'=\bruch{du}{dx}=\bruch{y'x-y}{x^2}=\bruch{1}{x}(\bruch{1}{4}+u^2-u)$. [/mm] So jetzt Trennung der Variablen. Dabei ist [mm] $(\bruch{1}{4}+u^2-u)=(u-\bruch{1}{2})^2$. [/mm] Jetzt du weiter
Einen schönen Abend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 Mo 02.02.2009 | | Autor: | milox |
achssooo...oh man das habe ich vollkommen übersehen, dass ich das zusammenfassen kann...
danke euch...werde das mal jetzt integrieren und euch informieren was ich raus habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Mo 02.02.2009 | | Autor: | milox |
soooo
mein ergebnis lautet:
[mm] u=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{lnxC}
[/mm]
so steht es auch im ergebnis...
danke für die hilfe !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mo 02.02.2009 | | Autor: | milox |
| Aufgabe | | Aufleitung [mm] \bruch{1}{sin u} [/mm] |
Wo wir schon dabei sind....es ist zwar nicht Bestandteil meiner Aufgabe
aber ich habe mal eine Gleichung gesehen in dieser form
[mm] \bruch{1}{sin u}
[/mm]
und die soll aufgeleitet werden...welchen trick kann man hier anwenden?
einen passenden stammintgral findet man nicht...
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> Aufleitung [mm]\bruch{1}{sin u}[/mm]
> Wo wir schon dabei sind....es
> ist zwar nicht Bestandteil meiner Aufgabe
>
> aber ich habe mal eine Gleichung gesehen in dieser form
>
> [mm]\bruch{1}{sin u}[/mm]
>
> und die soll aufgeleitet werden...
Oh weh!
Wir suchen lieber eine Stammfunktion...
> welchen trick kann man
> hier anwenden?
Hallo,
es ist [mm] sin(u)=\bruch{2tan(\bruch{u}{2})}{1+tan^2(\bruch{u}{2})}.
[/mm]
Damit hat man
[mm] \integral\bruch{1}{sin u} [/mm] du= [mm] \integral\bruch{\bruch{1}{2}(1+tan^2(\bruch{u}{2}))}{tan(\bruch{u}{2})} [/mm] du.
Im Zähler steht die Ableitung des Nenners, also ist die Stammfunktion [mm] ln(tan(\bruch{u}{2})).
[/mm]
Wenn man sich daran nicht mehr erinnert, kann man auch noch eine Substitution mit [mm] t=tan(\bruch{u}{2}) [/mm] machen.
Gruß v. Angela
>
> einen passenden stammintgral findet man nicht...
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Hallo!
[mm] $\int \bruch{1}{u^{2}-u+\bruch{1}{4}}du =\int \bruch{1}{(u-1/2)^2}du$
[/mm]
Substituiere nun [mm] $z:=u-\frac{1}{2}$
[/mm]
Gruß Patrick
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