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Hallo zusammen. Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
[mm] \integral_{1}^{6}x\wurzel{x+3}dx
[/mm]
Die aufgabe schreit für mich nach Substitution von x+3:
du=u'(x)dx [mm] \Rightarrow [/mm] du=dx
obere Grenze: 6+3=9
untere Grenze: 1+3=4
Somit erhalte ich das neue Integral [mm] \integral_{4}^{9}x\wurzel{u}du
[/mm]
könnte ich das ganze nun übder partielle Integration lösen oder muss ich dort nochmal substituieren???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Mi 09.07.2008 | | Autor: | He_noch |
Du substituierst doch u = x+3 bzw. x = u-3, somit musst du alle x in deiner Gleichung ersetzen!!
Also ergibt sich dein Integral zu [mm]\integral_{4}^{9}(u-3)\wurzel{u}du[/mm].
Dieses solltest du mit partieller Integration lösen können.
Gruß.
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Gut kann ich soweit nachvollziehen. Aber was ich nciht ganz verstehe ist, wieso das bei einem Integral wie [mm] \integral_{0}{1}\bruch{x+1}{x^2+2x+5} [/mm] mit der Substitution nur mit [mm] u(x)=x^2+2x+5 [/mm] funktioniert und ich nicht extra noch nach x auflösen muss. Wann muss ich das denn machen und wann nicht???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Eine pauschale Antwort darauf gibt es nicht ... aber Du musst immer bei einer Substitution sämtliche Variablen durch die neue Variable ersetzen.
Gruß
Loddar
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Ach das ist doch schonwieder doof. Das Problem dabei ist doch, dass ich noch nicht gut genug mit Integralen umgehen kann. Und wenn ich vorher die ganzen Aufgaben rechne, ohne die Variablen zu ersetzen, selbst bei einer Aufgabe, wie ich sie ebend gepostet habe, wie soll mir sowas dann bitte bei solch einer Aufgabe auffallen???
Soll das jetzt schlussendlich heißen, dass wenn ich z.B. [mm] \integral_{0}^{\wurzel\pi}xcos(x^2) [/mm] habe ich folgendes reche:
Substitution von [mm] u=x^2 [/mm] bzw. [mm] \wurzel{u}=x
[/mm]
untere Grenze: 0
obere Grenze: [mm] \pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{\pi}\wurzel{u}cos(u)\bruch{1}{2x}du....???
[/mm]
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{\pi}\wurzel{u}cos(u)\bruch{1}{2x}du....???[/mm]
Das ist so auch möglich. Du musst jetzt nur nochmals das $x_$ im Nenner ersetzen durch $x \ = \ [mm] \wurzel{u}$ [/mm] und anschließend kürzen.
Gruß
Loddar
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Gut dann bräuchte ich eigentlich nur noch hilfe bei einer einzigen Aufgabe:
[mm] \integral_{ln3}^{ln8}\bruch{e^{2x}}{\wurzel{e^x+1}}
[/mm]
Hier würde ich zunächst [mm] u(x)=e^x [/mm] substituieren und komme auf folgendes: du=u'(x)dx [mm] \Rightarrow du=e^x [/mm] dx [mm] \Rightarrow \bruch{du}{e^x}=dx
[/mm]
(hier würde ich die Variablen nun nicht ersetzen müssen)
obere Grenze=8
untere Grenze=3
[mm] \Rightarrow \integral_{3}^{8}\bruch{u}{\wurzel{u+1}}\bruch{1}{e^x}du
[/mm]
wobei ich mir wieder ein bische unsicher bin!!!
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mi 09.07.2008 | | Autor: | He_noch |
Du darfst nach dem Substituieren kein x mehr drin stehen haben!!
Ausserdem musst du aufpassen, dass du im Zähler [mm] e^{2x} [/mm] und nicht [mm] e^{x} [/mm] stehen hast.
Wenn du dies beachtest, sieht das Integral ein wenig besser aus...
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okay...
ich probiers mal.
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Kleine Ergänzung: es sollte mit der Substitution $u \ := \ [mm] e^x+1$ [/mm] etwas einfacher gehen.
Gruß
Loddar
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Hi,
der Vorteil bei diesem Bruch ist, dass die Ableitung $u'(x)$ bis auf einen Faktor im Zähler steht. Daher fällt dieser bei der Substitution von dx nach du gleich mitweg.
Dies war bei der Wurzel oben nicht der Fall, daher musstest du da das x nochmal extra ersetzen.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mi 09.07.2008 | | Autor: | weduwe |
> Du substituierst doch u = x+3 bzw. x = u-3, somit musst du
> alle x in deiner Gleichung ersetzen!!
> Also ergibt sich dein Integral zu
> [mm]\integral_{4}^{9}(u-3)\wurzel{u}du[/mm].
> Dieses solltest du mit partieller Integration lösen
> können.
>
> Gruß.
>
wozu braucht man hier partielle integration?
das geht doch direkt stück für stück
[mm](u-3)\sqrt{u}=u^\frac{3}{2}-3u^\frac{1}{2}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Mi 09.07.2008 | | Autor: | He_noch |
wo du recht hast, hast du recht...
Danke, geht so natürlich viel einfacher!
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